3.5 数学探究活动（一）：正方体截面探究 教学设计-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.5 数学探究活动（一） 正方体截面探究 一、教学内容和内容解析 1. 教学内容 本课题是一个数学探究活动，选自北师大版选择性必修第一册第三章第五节， 也是《普通高中数学课程标准》附录2中“教学与评价案例”的案例11“正方体截 面的探究”。本节课是综合利用基本立体图形的结构特征和基本图形位置关系中的 结论、定理，引导学生探究、发现、证明正方体截面的形状、面积大小等的变化规 律。 2.教学内容解析 课程标准要求数学探究活动要以课题研究的形式展开，自主经历“问题提出， 猜想结论，分析讨论，得出结果”的探究过程。在旧版北师大教材中本节内容是放 置在必修二第一章“立体几何初步”章末的课题学习，现调整至选择性必修第一册 第三章“空间向量与立体几何”最后一节，建议1课时。课题、位置、课时的调整 释放出编者的意图：要综合利用几何体的结构特征、点线面位置关系中的定义、定 理、推论和空间向量在立体几何中的应用，引导学生以实验操作、观察猜想、理性 推证为主线，逐渐深入的探究、发现、证明正方体截面形状的变化情况， 在解决问 题的同时归纳方法、探索规律， 从而揭示数学研究的本质——探索规律的不变性 积累数学活动经验。 因此本节课的教学重点在于将实物模型抽象为数学模型，探究正方体截面边数 的确定以及每一类中特殊图形的存在性，积累数学探究活动经验。 二、学生学情分析 高二学生已经掌握了立体几何初步知识和空间向量的应用，具备一定的空间想 象能力和推理论证基础；而且他们思维活跃，乐于探索，勇于探究。 但班级同学对立体几何掌握的水平不够均衡，缺乏提出新问题的意识与利用已 有方法解决新问题的能力。 本节课的教学难点：分类找出所有可能的截面；确定具体的截面形状；科学严 谨地论证截面形状的存在性。 三、探究目标设置 1、了解截面的概念；通过观察正方体内液面的形状变化，体会正方体在切截 过程中截面图形的变化，建立空间观念，提升直观想象素养。 2、能够将实物模型抽象为数学模型，探究正方体截面形状，在过程中培育和 发展数学抽象、直观想象等数学核心素养。 3、利用已学的公理、定理、结论等知识确定正方体截面的形状；掌握“平行 线法”和“交线法”两种做截面的方法，加深学生对立体几何知识的理解、掌握和 应用，培养数学应用的意识，提升数学建模素养。 4、能对特殊的情况（截面非直角三角形、非钝角三角形、非直角梯形等）给 出严谨的证明，在过程中发展数据运算、逻辑推理等数学核心素养。 5、通过实际操作、观察猜想、推理论证、合作交流等数学活动过程，培养学 生发现问题、分类讨论、作图表达、推理论证的综合数学能力。提升用数学的眼光 发现问题、用数学的思维探究问题、用数学的语言表达结论的能力，提高数学学习 兴趣和成就感。 四、教学策略分析 教学方法：启发探究式教学。 课前教师首先按组下发给学生参考实验器具包，学生自主开展探究活动，通过 实物操作、动手画图结合信息技术，合作交流，发现正方体截面形状。然后在教师 的引导下，按截面边数以及在探究截面形状过程中暴露的问题分组认领研究任务， 防止课堂上探究成果交流时出现重叠或空白。结合小组合作分工表，每个人都有明 确任务驱动，着眼于最近发展区，让学生自主探究。在整个探究过程中，教师从旁 观察，随机参与，给予必要的帮助和指正。 课堂上教师首先通过生活中常见的截面问题的应用自然的引发本节课的探究主 题。然后组织引导学生分组展示探究成果，并及时和学生一起对汇报内容加以点 评，体现了教师启发探究的作用。 课堂结尾教师结合课堂上探究成果的展示，力求充分调动每个学生的积极性和 主动性，给出建议的再研究问题，为学生提供合作探究、自主学习的时间和空间。 采取“课前学生自主初探究——师生讨论确定研究问题分类——课上各小组代 表汇报研究成果——师生互动进一步补充探究——课后继续拓展研究”的方式来探 究正方体的截面。 五、教学过程设计 （1）课前准备 任务1：规划可能探究的问题。 课前教师首先按组下发给学生参考实验器具包（土豆（或胡萝卜）制作的正方 体模型、水果刀、装有不同体积的带颜色液体的透明正方体模具、画有正方体的作 图用纸、小组合作分工表等），学生自主开展探究活动，通过实物操作、动手画图 等方式合作交流，发现正方体截面形状，提出感兴趣的可探究问题。 【设计意图】利用不同种开放的方式呈现截面形状，降低了学习的门槛，培养 了学生的动手能力和自主探究意识，激发了学生学习的兴趣和热情，提升了学生的 发散思维、创新意识和直观感知能力。 任务2：初步分配各组探究任务。 教师全程从旁观察学生的探究活动，随机参与并给予必要的指导。然后统一引 导学生讨论交流后，按截面边数以及在探究截面形状过程中暴露的问题分组认领研 究任务。 学生以学习小组为单位共同提出研究策略，结合小组合