2024届天津市各区高三上学期期末数学试题分类汇编——圆锥曲线

2024届天津市各区高三上期末数学试题分类汇编——圆锥曲线 1.（2024·天津和平区·高三上期末）在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为点，左，右顶点分别为点，离心率为．已知点是抛物线的焦点，点到抛物线的准线的距离为1． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程； （2）直线交椭圆于点（点在第二象限），交轴于点的面积是面积的倍，求直线的斜率． 2.（2024·天津耀华中学·高三上期末）已知椭圆：（）的右焦点为，短轴长是长轴长的. （1）求椭圆的方程； （2）是椭圆上的动点，过点作椭圆的切线，与直线交于点，若（为坐标原点）的面积为，求点的坐标. 3.（2024·天津河北区·高三上期末）设椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点，动点满足，连接，交椭圆于点. （1）求椭圆的方程；（2）求证：为定值. 4.（2024·天津河东区·高三上期末）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明； （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 5.（2024·天津河西区·高三上期末）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）过作不平行于坐标轴的直线与椭圆交于，两点，直线交轴于点，直线交轴于点，若，求直线的方程. 6.（2024·天津红桥区·高三上期末）椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值. 7.（2024·天津南开区·高三上期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. （1）求椭圆的方程； （2）对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 8.（2024·天津宁河区·高三上期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，． （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点在圆上，直线，的斜率分别为，，且，求证： （i）； （ii）直线过定点，并求出此定点的坐标． 9.（2024·天津五所重点校·高三上期末）设椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，已知椭圆过点，且长轴长为6． （1）求椭圆标准方程； （2）点是椭圆上一点（不与顶点重合），直线交轴于点，且满足，若，求直线方程． 10.（2024·天津西青区·高三上期末）已知椭圆：的右焦点为点，、分别为椭圆的上、下顶点，若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的． （1）求椭圆的离心率； （2）过点且斜率为（）的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点，过点且与平行的直线截椭圆所得弦长为，求椭圆的标准方程． 11.（2024·天津八校联考·高三上期末）已知椭圆，，分别是椭圆C的左、右焦点，点为左顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的． （1）求椭圆的离心率； （2）直线过椭圆C的右焦点，与椭圆C交于P，O两点（点P在第一象限）．且面积的最大值为， ①求椭圆C的方程； ②若直线，分别与直线交于，两点，求证：以为直径的圆恒过右焦点． 12.（2024·天津塘沽一中·高三上期末）已知椭圆的离心率为，其左，右焦点分别为，，点P是坐标平面内一点，且，，其中O为坐标原点. （1）求椭圆C的方程； （2）过点，且斜率为的动直线l交椭圆于A，B两点，求弦AB的垂直平分线在轴上截距的最大值. 13.（2024·天津部分区·高三上期末）设，两点的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为. （1）求的方程 （2）设直线与交于，两点，若的外接圆在处的切线与交于另一点，求的面积. 答案 1.（2024·天津和平区·高三上期末）在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为点，左，右顶点分别为点，离心率为．已知点是抛物线的焦点，点到抛物线的准线的距离为1． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程； （2）直线交椭圆于点（点在第二象限），交轴于点的面积是面积的倍，求直线的斜率． 【答案】（1）， （2）1 【小问1详解】设点的坐标为．依题意，，解得， 于是．所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为． 【小问2详解】设点坐标为点坐标为，且由题意， （法一）因为 又，，可得， 即，即，则， 由，即，可得， 因为点在第二象限，则，将代入椭圆方程，求得，所以点坐标为，又因为，则直线的斜率为． （法二）因为点在第二象限，则直线的斜率存