专题19.16 一次函数与方程、不等式（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题19.16 一次函数与方程、不等式（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 【知识点二】一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 【知识点三】如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【考点目录】 【考点1】已知直线与坐标轴交点，求方程的解； 【考点2】由一元一次方程的解，判断直线与坐标轴交点； 【考点3】利用图象法解一元一次方程； 【考点4】由直线与坐标轴交点求一元一次不等式的解集； 【考点5】由两直线与坐标轴交点求一元一次不等式组的解集； 【考点6】由两直线与坐标轴交点求二元一次方程的解； 【考点7】图象法解二元一次方程组； 【考点8】求直线围成的图形的面积； 【考点1】已知直线与坐标轴交点，求方程的解； 【例1】（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出方程的解为 ； （3）求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出函数图象与x轴的交点坐标，即可求出方程的解； （3）利用三角形面积公式直接求出的面积即可． （1）解：把，代入，得， 解得：， 故这个一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴交于点C的坐标为， ∴方程的解为． 故答案为：． （3）解：的面积为：． 【点拨】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． 【变式1】（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知一次函数（a，b是常数且），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，据此即可求解． 解：由表格数据可知：当时，； ∴方程的解是， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．根据“一次函数与一元一次方程的关系”求解． 解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴一元一次方程的解为：， 故答案为：． 【考点2】由一元一次方程的解，判断直线与坐标轴交点； 【例2】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点，与函数的图象交于点，点的横坐标为2，在轴上有一点（其中），过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点． （1）求线段的长； （2）若，求点D坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出点M坐标，再求出直线解析式，令，求出x的值，令，求出y的值，即可求得A、B的坐标，进而求得的长． （2）根据，设设C点坐标为点坐标为，列出关于a方程，解方程即可求得D的坐标． 解：（1）点在直线的图象上，且点的横坐标为2， ∴， 点的坐标为， 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 把代入得， 解得， 点坐标为， 把代入得， 点坐标为， ； （2）点坐标为， ， ， 轴， 设C点坐标为点坐标为， ， ， ． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像与坐标轴的交点，坐标与图形的性质，勾股定理，掌握图象上的点满足图象的解析式是本题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键．先根据一次函数与坐标轴的交点排除B、C、D，进而可得出A正确． 解：∵， ∴一次函数过点，故B、C、D不合题意， A、由一次函数的图象可得即，而正比例函数图象可得，符合题意． 故选：A． 【变式2】（21-22八年级下·福建福州·期中）已知关于x