2024年九年级数学中考专题复习：等腰三角形

中考专题复习：等腰三角形 －、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 例1、如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=__________________. 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 例2、如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度． 定理：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 例3、做如下操作：在等腰三角形ABC中,AB= AC,AD平分∠BAC, 交BC于点D.将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的 像与△ACD重合. 对于下列结论:①在同一个三角形中,等角对等边;②在同一个三角形中,等边对等角;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和高互相重合. 由上述操作可得出的是 (将正确结论的序号都填上). 定理：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 例4、等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 例5、已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC， （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由。 例6、如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE. (1) 求证：△ACD≌△BCE； (2) 延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ使CP＝CQ＝5, 若BC＝8时，求PQ的长. 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 例7、已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M． (1)求证：AB＝CD； (2)若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD 的数量关系，并说明理由． 三. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 例8、如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于点D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE＝AF，连结BE，BF，EG⊥BF于点G，连结DG. (1)求证：BE＝BF； (2)试说明DG与AF的位置关系和数量关系． 例9、如图所示，△ABC是等边三角形，点是AC的中点，过D点作DM⊥BE，垂足是MD；延长BC到E，使CE＝CD，求证：BM＝EM． 4、 等腰三角形的分类讨论 例10、如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动　　秒时，△ACP是直角三角形． 例11．取一张等腰三角形纸片，在该纸片上取一点，然后沿过该点的某一条直线剪一刀将纸片一分为二．若在被剪开的两张纸片中有一张纸片的形状恰好为等腰三角形，则这样的直线最多有（　　） A．3条 B．5条 C．7条 D．9条 5． 等腰三角形存在性 例12、 如图1所示，在平面直角坐标系中，过点的两条直线分别交轴于两点，且两点的纵坐标分别是一元二次方程的两个根. (1)求线段的长度. (2)试问:直线与直线是否垂直?请说明理由. (3)若点在直线上，且，求点的坐标. (4)在(3)的条件下，直线上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰