第2章 素养提升课(二) 运动的图像和追及、相遇问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一物理必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（鲁科版2019）

素养提升课(二)　运动的图像和追及、相遇问题 [学习目标]　 1．掌握运动学中的位移—时间图像和速度—时间图像问题。2．会用匀变速直线运动规律解决追及相遇问题。 一　运动学中两类图像问题 1．s ­t图像：图像上某点切线的斜率表示该时刻物体的速度，图像上一个点对应物体某一时刻的位置。 2．v ­t图像：图像上某点切线的斜率表示该时刻物体的加速度，图像上一个点对应物体某一时刻的速度。 3．无论是s ­t图像还是v ­t图像都只能描述直线运动，都不表示物体运动的轨迹，图像的形状由s与t、v与t的函数关系决定。 4．形状一样的图线，在不同图像中所表示的物理意义不同，因此在应用时要特别注意看清楚图像的纵、横轴所描述的是什么物理量。 5．s ­t图像与v ­t图像的比较 s ­t图像 v ­t图像 轴 横轴为时间t，纵轴为位移s 横轴为时间t，纵轴为速度v 线 ①平行t轴直线表示静止②倾斜直线表示匀速直线运动 ①平行t轴直线表示匀速运动②倾斜直线表示匀变速直线运动 斜率 表示速度 表示加速度 面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示位移 纵截距 表示初位置 表示初速度 特殊点 拐点表示从一种运动变为另一种运动；交点表示相遇 拐点表示从一种运动变为另一种运动；交点表示速度相等 如图所示的s ­t图像和v ­t图像中，给出四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是(　　) A．图线1表示物体做曲线运动 B．s ­t图像中t1时刻v1＞v2 C．v ­t图像中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等 D．两图像中，t2、t4时刻2、4开始反向运动 B　[图线1表示的是变速直线运动，选项A错误；s ­t图像中t1时刻物体1的速度v1大于物体2的速度v2，选项B正确；在v ­t图像中图线与时间轴围成图形的“面积”表示位移，0至t3时间内，s4＞s3，则4＞3，选项C错误；s ­t图像中t2时刻物体2开始反向运动，v ­t图像中t4时刻物体4开始减速，但运动方向不变，选项D错误。] 针对练1．一质点沿一条直线运动的位移—时间图像如图所示，则(　　) A．t＝0时刻，质点在坐标原点 B．从t＝0时刻到t1时刻，质点位移是x0 C．从t1时刻到t2时刻，质点位移大小等于路程 D．质点在t1时刻的速度比t2时刻的速度大 C　[t＝0时刻，质点在s0处，故A错误；从t＝0时刻到t1时刻，质点位移大于s0，故B错误；从t1时刻到t2时刻，质点做单方向匀速直线运动，位移大小等于路程，故C正确， D错误。] 针对练2．(多选)质点做直线运动的v ­t图像如图所示，则(　　) A．第1 s末速度反向 B．第2 s内质点的加速度大小为2 m/s2 C．第2 s内速度方向与加速度方向相反 D．在t＝2 s时质点回到出发点 BC　[在前2 s内速度都在时间轴的上方，与规定的正方向相同，都为正，速度方向不变，A错误；根据v ­t图像的斜率表示加速度可知，在第2 s内质点的加速度a＝＝ m/s2＝－2 m/s2，B正确；第2 s内速度减小，说明加速度方向与速度方向相反，C正确；质点始终做单向直线运动，t＝2 s时不可能回到出发点，D错误。] 二　追及和相遇问题 两物体在同一直线上运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者距离为零的情况，这类问题称为追及和相遇问题。 1．追及问题 (1)追及的特点：两个物体在同一时刻到达同一位置。 (2)追及问题满足的两个关系 ①时间关系：从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的时间相等； ②位移关系：s2＝s0＋s1，其中s0为开始追赶时两物体之间的距离，s1表示前面被追赶物体的位移，s2表示后面追赶物体的位移。 (3)临界条件：当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为v1＝v2。 2．相遇问题 (1)特点：在同一时刻两物体处于同一位置。 (2)条件：同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇。 (3)临界状态：避免相碰撞的临界状态是两个物体处于相同的位置时，两者的相对速度为零。 3．常用方法 (1)物理分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。 (2)图像法：将两者的v ­t图像在同一坐标系中画出，然后利用图像求解。 (3)数学极值法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰。 火车甲以v1＝288 km/h的速度匀速行驶，司机突然发现前方同轨道上相距s＝0.5 km处有一列火车乙正沿同方向以v2＝144 km/h的速度做匀速运动，司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，a应满足什么条件？ [思路点拨]　解此题注意以下两点 (1)火车甲刹车后两火车之间的距离逐渐减小。 (2)火车甲的速度降低到火车乙的速度(144 km/h)时，火车甲的位移s1与火车乙的位移s2之间满足：s1≤s2＋s。 解析：　方法一：(物理分析法) 两车不相撞的条件是当两列火车速度相等时，两车仍相距一段距离，即 v1－at＝v2　 ① s1≤s2＋s　 ② 其中s1＝v1t－at2　 ③ s2＝v2t　 ④ 联立①②③④式，解方程组可得a≥1.6 m/s2。 当a≥1.6 m/s2时，两车不会相撞。 方法二：(判别式法) 设后面火车减速t时间后，两车相撞，则有s1＝s2＋s，即v1t－at2＝v2t＋s，整理得at2－2(v1－v2)t＋2s＝0。 若两车不相撞，则以上方程不能有两个解，即判别式应满足Δ＝4(v1－v2)2－8as≤0，解得a≥1.6 m/s2。 方法三：(v ­t图像法) 分别画出两列火车的v ­t图像如图所示。刚好不相撞时图中阴影面积为s，有(v1－v2)t1＝s，则＝a，得出a＝1.6 m/s2，所以刹车加速度应为a≥1.6 m/s2。 答案：　a≥1.6 m/s2 求解追及和相遇问题的技巧 　　 针对练1．(2022·山东青岛二中月考)如图所示，甲、乙两车沿着同一条平直公路同向行驶，甲车以20 m/s的速度匀速运动，乙车原来速度为8 m/s，从距甲车80 m处以大小为4 m/s2的加速度做匀加速运动，则乙车追上甲车的时间为(　　) A．4 s　　　　　　　　 B．6 s C．8 s D．10 s D　[设经时间t乙车追上甲车．在这段时间内甲、乙两车位移分别为s甲＝v甲t，s乙＝v乙t＋at2追上时的位移条件为s乙＝s甲＋s0，即8t＋2t2＝20t＋80，整理得t2－6t－40＝0，解得t1＝10 s，t2＝－4 s(舍去)，故D正确。] 针对练2．(2022·山东潍坊高一期中)汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌(如图所示)，以提醒后面驾车司机，减速安全通过。在夜间，有一货车因故障停驶，后面有一小轿车以30 m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50 m 的物体，并且他的反应时间为0.6 s，制动后最大加速度为5 m/s2。求： (1)小轿车从刹车到停止所用的最短时间； (2)三角警示牌至少要放在车后多远处，才能有效避免两车相撞。 解析：　(1)从刹车到停止时间为t2，则 t2＝＝ s＝6 s。 (2)反应时间内做匀速运动，则s1＝v0t1 s1＝30×0.6 m＝18 m 从刹车到停止的位移为s2，则s2＝ s2＝ m＝90 m 小轿车从发现物体到停止的全部距离为 s＝s1＋s2＝108 m Δs＝s－50 m＝58 m。 答案：　(1)6 s　(2)58 m 1．(2022·浙江选考)一辆汽车沿平直道路行驶，其v ­t图像如图所示。在t＝0到t＝40 s这段时间内，汽车的位移是(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．30 m C．750 m D．1 200 m C　[在v ­t图像中图线与时间轴围成的“面积”表示位移，故在40 s内的位移s＝××30 m＝750 m，故选项C正确。] 2．(多选)如图所示A、B两人在同一直线上运动的位移图像，下列关于图像的分析正确的是(　　) A．0～2 s内，A、B两人同向而行 B．0～2 s内，A的速度比B的速度小 C．在5 s内，A走的路程比B走的路程多 D．在5 s内，A的位移比B的位移大 BD　[0～2 s内，A沿s轴负方向运动，vA＝ m/s＝12 m/s，B沿s轴正方向运动，vB＝ m/s＝30 m/s，故选项A错误、选项B正确；5 s内A的路程为60 m，而B返回出发点，路程为60 m＋30 m＝90 m，选项C错误；B的位移在5 s内为30 m，而A为60 m，故选项D正确。] 3．某军事试验场在平地上试射地对空导弹。若某次竖直向上发射导弹时发生故障，导弹的v ­t图像如图所示。下列说法正确的是(　　) A．0～1 s内导弹匀速上升 B．1～2 s内导弹静止不动 C．3 s末导弹回到出发点 D．5 s末导弹恰好回到出发点 D　[根据题意由v ­t图像可知，在0～1 s时间内导弹匀加速上升，故选项A错误；在1～2 s时间内导弹匀速上升，故选项B错误；3 s末导弹瞬时速度为零，在v ­t 图像中图线与时间轴所围的“面积”表示位移，因此在0～3 s时间内，导弹的正向位移最大，为60 m，即3 s末导弹上升到最大高度处，故选项C错误；在3～5 s时间内图线分布在时间轴的下方，表示导弹下落，下落距离为60 m，所以在0～5 s时间内导弹的位移为0，即5 s末导弹回到出发点，故选项D正确。] 4．如图所示，A、B两物体(可视为质点)相距s＝7 m，物体A以vA＝4 m/s 的速度向右做匀速直线运动，而物体B此时的速度vB＝10 m/s，向右做匀减速直线运动，加速度为a＝－2 m/s2，那么物体A追上物体B所用的时间为(　　) A．7 s B．8 s C．9 s D．10 s B　[物体B做匀减速直线运动，速度减为零时，所需时间 t1＝＝5 s，运动的位移sB＝＝ m＝25 m，在这段时间内物体A的位移sA＝vAt1＝4×5 m＝20 m；因sB>sA，所以此时物体A还没有追上物体B，此后物体B静止，设物体A追上物体B所用时间为t，则有vAt＝s＋sB，代入数据解得t＝8 s，B正确。] 5．如图所示的s ­t图像和v ­t图像中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是(　　) A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动 B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程 C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远 D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等 C　[在s ­t图像中表示的是做直线运动的物体的位移随时间的变化情况，而不是物体运动的轨迹，由于甲、乙两车在0～t1时间内做单向的直线运动，故在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B均错误。在v ­t图像中，t2时刻丙、丁速度相等，故两者相距最远，C正确。由图线可知，0～t2时间内丙的位移小于丁的位移，故丙的平均速度小于丁的平均速度，D错误。] 6．一个步行者以6 m/s的速度匀速追赶一辆被红灯阻停的汽车，当他距离汽车25 m时，绿灯亮了，汽车以1 m/s2的加速度匀加速启动前进，下列结论正确的是(　　) A．人能追上汽车，追赶过程中人跑了36 m B．人不能追上汽车，人、车最近距离是7 m C．人能追上汽车，追上前人共跑了43 m D．人不能追上汽车，且汽车开动后人、车相距越来越远 B　[设经过时间t两者速度相等，此时步行者与汽车的距离最近t＝＝ s＝6 s，步行者的位移为s1＝vt＝6×6 m＝36 m，汽车的位移为s2＝at2＝×1×36 m＝18 m，s1－s2＝18 m＜25 m，故不能追上；人、车最近距离是Δs＝25 m－18 m＝7 m。] 7．在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵。图中a、b分别为小汽车和大卡车的v ­t图线，以下说法正确的是(　　) A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾 B．在t＝5 s时追尾 C．在t＝3 s时追尾 D．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾 C　[由图像可知，在t＝5 s时，两车的速度相等，若此时小汽车与大卡车没有追尾，则以后再不会发生追尾。由v ­t图像与时间轴所围图形的面积表示位移的大小可得：t＝5 s时，sa－sb＝35 m，t＝3 s时，sa－sb＝30 m，所以在t＝3 s时，小汽车与大卡车出现了追尾，C正确，A、B错误。如果刹车不失灵，则两车在t＝2 s时共速，此时sa－sb＝20 m<30 m，故不会追尾，D错误。] 8．在平直公路上行驶的a车和b车，其位移—时间图像分别为图中直线a和曲线b，已知b车的加速度恒定且a＝－2 m/s2，t＝3 s时，直线a和曲线b刚好相切，求t＝0时a车和b车的距离s0。 解析：　由图可知，a车的速度va＝＝ m/s＝2 m/s 3 s时，直线a和曲线b刚好相切，即此时b车的速度vb′＝va＝2 m/s 设b车的初速度为vb，对b车，由vb′＝vb＋at，解得vb＝8 m/s， a车的位移sa＝vat＝6 m， b车的位移sb＝t＝15 m， t＝3 s时，a车和b车到达同一位置，得s0＝sb－sa＝9 m。 答案：　9 m 9．某长直赛道上有一辆赛车，其前方Δs＝200 m处有一安全车正以v0＝10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以a＝2 m/s2的加速度追赶。问： (1)赛车追上安全车之前，从开始运动起经过多长时间与安全车相距最远？最远距离为多少？ (2)赛车经过多长时间追上安全车？ (3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，问两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不发生碰撞) 解析：　(1)当两车速度相等时相距最远， 对赛车：v0＝at1 解得t1＝5 s 此过程中赛车位移s1＝at12＝×2×52 m＝25 m 安全车位移s2＝v0t1＝10×5 m＝50 m 两车之间距离s＝s2＋Δs－s1＝50 m＋200 m－25 m＝225 m。 (2)设赛车经过时间t2追上安全车，则有 at22－Δs＝v0t2 解得t2＝20 s。 (3)第一次相遇时赛车的速度 v＝at2＝2×20 m/s＝40 m/s 设从第一次相遇起再经过时间t0两车再次相遇，则vt0－a′t02＝v0t0 解得t0＝15 s 但赛车速度从40 m/s减为0只需10 s，所以两车再次相遇的时间＝v0t 解得t＝20 s。 答案：　(1)5 s　225 m　(2)20 s　(3)20 s 学科网（北京）股份有限公司 $$