精品解析：江苏省无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期阶段性质量检测（3月月考）数学试题

无锡市第一中学2023-2024学年度第二学期阶段性质量检测试卷 高 一 数学 2024.3 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项. 1. ，是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是两个不共线的向量，且，则（   ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 3. 已知非零向量，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或5 7. 在中，，，边上的中线，则的面积S为( ) A. B. C. D. 8. 在锐角中，角所对的边分别为，若，则下列四个结论中正确的是（   ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的最小值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）. A B. C. D. 10. 内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A. 若，，，则符合条件的有二个 B. 若，，则角的大小为 C. 若，则是锐角三角形 D. 若为斜三角形，则 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，向量在上的投影向量为，则向量与的夹角为______． 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______． 14. 已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数最小值为______． 四、解答题：本题共5个小题，第15题13分，第16，17题各15分，18，19每题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 16. 在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，． （1）若，BC边上的中线AD的长为，求c的值； （2）若，，求． 17. 如图，在中，已知，，为锐角，是线段的中点，在线段上，且，，相交于点，的面积为． （1）求的长度； （2）求的余弦值． 18. 某公园拟对一扇形区域进行改造，如图所示，平行四边形为休闲区域，阴影部分为绿化区，点在弧上，点，分别在，上，且米，，设. （1）请求出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值，最大值为多少平方米？ （2）设，求的取值范围. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； （2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 无锡市第一中学2023-2024学年度第二学期阶段性质量检测试卷 高 一 数学 2024.3 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项. 1. ，是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 A．分析方向；B．分析夹角；C．根据数量积计算结果进行判断；D．根据模长运算进行判断. 【详解】A．可能方向不同，故错误； B．，两向量夹角未知，故错误； C．，所以，故错误； D．由C知，故正确， 故选：D. 【点睛】本题考查向量的模长和数量积运算以及向量相等的概念，主要考查学生对向量的综合理解，难度较易. 2. 已知是两个不共线的向量，且，则（   ） A. 三点共线 B. 三点共线 C.