第1章 数列 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

章末综合提升 素养一、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果等．在本章中，主要表现在求等差、等比数列的特定项，公差(公比)，前n项和，项数的运算中． 题型一　等差(比)数列的基本运算 在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn． 解析：　(1)设数列{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3， 解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n，n∈N＋． (2)由(1)得a3＝8，a5＝32， 则b3＝8，b5＝32． 设数列{bn}的公差为d，则有 解得 所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N＋． 所以数列{bn}的前n项和 Sn＝＝6n2－22n，n∈N＋． 题型二　等差、等比数列的性质及应用 (1)在等比数列{an}中，有a3a15＝8a9，数列{bn}是等差数列，且b9＝a9，则b7＋b11等于(　　) A．4 B．8 C．16 D．24 (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：　(1)∵{an}是等比数列，∴8a9＝a3a15＝a，a9≠0，所以a9＝8，即b9＝a9＝8， ∵{bn}是等差数列，所以b7＋b11＝2b9＝16． 故选C． (2)∵{an}是等比数列，∴S5，S10－S5，S15－S10也成等比数列， ∵＝，设S5＝2k，S10＝k， 则S10－S5＝－k，∴S15－S10＝，则S15＝， ∴＝＝．故选D． 答案：　(1)C　(2)D 素养二、数学抽象 数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系．在本章中，主要表现在构造新数列，及数列的函数性质中． 题型三　构造数列求通项公式 (1)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝2，求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝，求数列{an}的通项公式． 解析：　(1)两边同除以5n＋1，得＝×＋， 可得－1＝(－1)． 由于－1＝－≠0，所以数列是以－为首项，为公比的等比数列，从而－1＝－×()n－1，故数列{an}的通项公式为an＝5n－3×2n－1． (2)由题意，可得＝＝＋2， 又＝，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，故＝＋2(n－1)＝， 所以数列{an}的通项公式为an＝． 题型四　数列的函数性质 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝21，S15＝－75，Tn为数列的前n项和，求Tn的最大值． 解析：　设等差数列{an}的公差为d，则 Sn＝na1＋d， 因为S7＝21，S15＝－75， 所以 解得 所以Sn＝9n－(n2－n)＝10n－n2， 所以＝10－n． 因为－＝－1，＝9，所以数列是首项为9，公差为－1的等差数列，所以Tn＝＝－n2＋n＝－(n－)2＋． 因为n∈N＋，所以当n＝9或10时，Tn有最大值为45． 素养三、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．本章主要表现在求数列的通项公式，等差、等比数列判定，数列求和及数列开放题运用等方面． 题型五　等差、等比数列的判定 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋)． (1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列； (2)设cn＝，求证：{cn}是等差数列． 证明：　(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1 ＝4an＋1＋2－4an－2 ＝4an＋1－4an． ＝＝＝＝2． 因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5． 所以b1＝a2－2a1＝3． 所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an， 所以－＝3． 所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2， 所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2． 题型六　数列求和 已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于(　　) A．30 B．45 C．90 D．186 C　[∵数列{an}为等差数列，由题意得 解得 ∴an＝3＋(n－1)×3＝3n，∴bn＝a2n＝6n． ∵bn＋1－bn＝6，∴{bn}是首项为6，公差为6的等差数列， 其前5项的和为S5＝5×6＋＝30＋60＝90．] 题型七　数列开放型题目 给定81个数排成数阵如下图所示，若每一行，每一列都构成等差数列，且正中间一个数a55＝5，则此数阵中所有数之和为__________． a11 a12 … a19 a21 a22 … a29 … … … … a91 a92 … a99 解析：　S＝(a11＋a12＋…＋a19)＋(a21＋a22＋…＋a29)＋…＋(a91＋a92＋…＋a99)＝9(a15＋a25＋…＋a95)＝9×9×a55＝405．故此数阵中所有数之和为405． 答案：　405 素养四、数学建模 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题．在本章主要表现在数列的实际应用问题中． 题型八　数列的实际应用 疫苗是解决“新冠病毒”的关键，为了早日生产“新冠病毒”疫苗，某研究所计划建设n个实验室，从第1到第n实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用高15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元，现在总共有建设费用438万元．则该研究所最多可以建设的实验室个数是(　　) A．10个　 　 B．11个　 　 C．12个　 　 D．13个 C　[设第n实验室的建设费用为an万元，其中n＝1，2，3，…， 由题意可得解得 则Sn＝20n＋＝n2＋n， 令Sn≤438，即3n2＋37n－876≤0且n∈N＋，解得n≤12． 所以最多可以建设12个实验室．故选C．] 单元检测卷(一)　数列 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝(　　) A．10 B．20 C．16 D．12 D　[∵{an}是等差数列， ∴d＝＝，∴a7＝2＋4×＝12．] 2．已知{an}，{bn}均为等差数列，且a1＋b1＝1，a2＋b2＝3，则a2 020＋b2 020＝(　　) A．4 043 B．4 041 C．4 039 D．4 037 C　[数列{an＋bn}是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a2 020＋b2 020＝1＋2 019×2＝4 039，故选C．] 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，d＝2，则当Sn取最小值时，n等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 A　[依题意an＝a1＋(n－1)d＝2n－13，由2n－13≤0得n≤＝6．5，由于n∈N＋，所以n＝6时，Sn取最小值． 故选A．] 4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31．5尺，前九个节气日影长度之和为85．5尺，则谷雨这一天的日影长度为(　　) A．5．5尺 B．4．5尺 C．3．5尺 D．2．5尺 A　[设等差数列{an}，首项为a1，公差为d， 根据题意得a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31．5， S9＝9a1＋36d＝85．5， 解得a1＝13．5，d＝－1， 所以a9＝a1＋8d＝5．5． 故选A．] 5．设等差数列{an}前n项和为Sn，等差数列{bn}前n项和为Tn，若＝．则＝(　　) A． B． C． D． B　[因为＝，所以＝＝， 因为Sn是等差数列{an}的前n项和，Tn是等差数列{bn}的前n项和， 所以S9＝＝9a5，T9＝＝9b5， 则＝＝，＝，故选B．] 6．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＋＋＝，则a2＝(　　) A．2 B． C．3 D． C　[∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴＋＋＝＋＋＝．∵a1a2a3＝15，∴＝＋＋＝，∴a2＝3．故选C．] 7．设数列{an}的首项a1＝1，且满足a2n＋1＝2a2n－1＋1，a2n＝a2n－1＋1，则数列{an}的前20项和为(　　) A．2 032 B．2 033 C．4 082 D．4 086 C　[由a2n＋1＝2a2n－1＋1得a2n＋1＋1＝2(a2n－1＋1)，∴数列{a2n－1＋1}为等比数列，首项为2，又数列{a2n－1}的前10项恰为数列{an}的前20项中的奇数项， 其和为－10＝2 036， 又a2n＝a2n－1＋1，由数列{a2n－1＋1}为等比数列，∴数列{an}的前20项中的偶数项和为 ＝2 046， 则S20＝2 036＋2 046＝4 082． 故选C．] 8．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足＝28，＝，则数列{an}的公比为(　　) A． B． C．2 D．3 D　[设等比数列公比为q， 当q＝1时，＝2≠28，不符合题意； 当q≠1时，∵＝28，∴·＝1＋qm＝28， 得qm＝27，又∵＝，∴qm＝， 由＝27，得m＝3， ∴q3＝27，∴q＝3，故选D．] 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 9．已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9>b9且a10>b10，则以下结论正确的有(　　) A．a9·a10<0 B．a9>a10 C．b10>0 D．b9>b10 AD　[∵等比数列{an}的公比q＝－， ∴a9和a10异号，∴a9a10＝a(－)<0，故A正确； 但不能确定a9和a10的大小关系，故B不正确； ∵a9和a10异号，且a9>b9，a10>b10， ∴b9和b10中至少有一个数是负数， 又∵b1＝12>0，∴d<0，∴b9>b10，故D正确；∴b10一定是负数，即b10<0，故C不正确．故选AD．] 10．在公比为整数q的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　) A．q＝2 B．数列{Sn＋2}是等比数列 C．S8＝510 D．数列{lg an}是公差为2的等差数列 ABC　[∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12且公比q为整数， ∴a1＋a1q3＝18，a1q＋a1q2＝12， ∴a1＝2，q＝2或q＝(舍去)，故A正确； Sn＝＝2n＋1－2，∴S8＝510，故C正确； ∴Sn＋2＝2n＋1，故数列{Sn＋2}是等比数列，故B正确； 而lg an＝lg 2n＝nlg 2，故数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列，故D错误．故选ABC．] 11．设{an}是公比为2的等比数列，下列四个选项中正确的命题有(　　) A．是公比为的等比数列 B．{a2n}是公比为4的等比数列 C．{2an}是公比为4的等比数列 D．{anan＋1}是公比为2的等比数列 AB　[由于数列{an}是公比为2的等比数列，则对任意的n∈N＋，an≠0，且公比q＝＝2． 对于A选项，＝＝＝，即数列是公比为的等比数列，A选项正确； 对于B选项，＝q2＝4，即数列{a2n}是公比为4的等比数列，B选项正确； 对于C选项，＝q＝2，即数列{2an}是公比为2的等比数列，C选项错误； 对于D选项，＝＝q2＝4，即数列{anan＋1}是公比为4的等比数列，D选项错误．故选AB．] 12．设Sn为数列{an}的前n项和，若(n∈N＋)等于一个非零常数，则称数列{an}为“和等比数列”．下列命题正确的是(　　) A．等差数列可能为“和等比数列” B．等比数列可能为“和等比数列” C．非等差等比数列不可能为“和等比数列” D．若正项数列{an}是公比为q的等比数列，且数列{ln an}是“和等比数列”，则q＝a ABD　[若等差数列的公差为0，则＝＝2是非零常数，则此数列为“和等比数列”，A对； 若等比数列的公比为1，则＝＝2是非零常数，则此数列为“和等比数列”，B对； 若数列{an}满足an＝，则＝1是非零常数，它既不是等差数列又不是等比数列，但它是“和等比数列”，C错； 正项数列{an}是公比为q的等比数列，∴an＝a1·qn－1， 则ln an＝ln(a1qn－1)＝ln a1＋ln(qn－1)＝ln a1＋(n－1)ln q， 故数列{ln an}是首项为ln a1，公差为ln q的等差数列，又数列{ln an}是“和等比数列”， 则＝ ＝ ＝2＋ ＝2＋ 又2＋为非零常数，则＝0，即2ln a1＝ln q，即q＝a，D对，故选ABD．] 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{an}为等差数列，a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，且a9＝4，则公差d＝________． 解析：　由数列{an}为等差数列，a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，可得a1a5＝a，即a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，且d≠0， 化简得2a1＝d， 由a9＝4，可得a1＋8d＝4， 解方程可得a1＝，d＝． 答案：　 14．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N＋．若a3＝16，S20＝20，则an＝________，S10＝________． 解析：　设{an}的首项，公差分别是a1，d，则 解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝20－2(n－1)＝22－2n． S10＝10×20＋×(－2)＝110． 答案：　22－2n　110 15．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________． 解析：　设{an}的公比为q，q>0，且a2a4＝1， ∴a3＝1． ∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，a1＝＝4． ∴S5＝＝8×(1－)＝． 答案：　 16．数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则an＝________，Sn＝________． 解析：　由题意a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n， ∴n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n－1， 两式相减得：2n－1an＝n·2n－(n－1)·2n－1＝(n＋1)·2n－1，an＝n＋1， 又a1＝2，满足an＝n＋1， ∴an＝n＋1， Sn＝＝． 答案：　n＋1　 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝－12，a4＋a8＝0． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式． 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＋a5＝2a3＝－12，a4＋a8＝2a6＝0， 所以所以解得 所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12，n∈N＋． (2)设等比数列{bn}的公比为q， 因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8， 所以－8q＝－24，即q＝3， 因此bn＝b1·qn－1＝(－8)×3n－1，n∈N＋． 18．(12分)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝26，a1，a3，a11成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜． 解析：　(1)由a1，a3，a11成等比数列，得a1a11＝a，又S4＝26． 所以 又d≠0，所以a1＝2，d＝3． 所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1． (2)证明：Sn＝na1＋d＝2n＋＝＋， ＝＝＝， Tn＝ ＝＜． 19．(12分)Sn为正项数列{an}的前n项和．已知a＋an＝2Sn＋2． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和． 解析：　(1)由a＋an＝2Sn＋2，① 可知a＋an－1＝2Sn－1＋2，② ②－①，得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 由an>0，得an－an－1＝1． 又a＋a1＝2a1＋2，解得a1＝－1(舍去)或a1＝2． 所以{an}是首项为2，公差为1的等差数列，通项公式为an＝n＋1． (2)由an＝n＋1可知 bn＝＝＝－， 设数列{bn}的前n项和为Tn， 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－＋－＋…＋－ ＝－＝． 20．(12分)已知公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋n，求数列{bn}的前n项和Sn． 解析：　(1)设数列{an}的公差为d， ∵a1，a3，a9成等比数列，∴a＝a1a9， ∴(1＋2d)2＝1×(1＋8d)， ∴d＝0(舍)或d＝1， ∴an＝n． (2)令bn＝2an＋n＝2n＋n， ∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(21＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(2n＋n) ＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n) ＝＋＝2n＋1－2＋． ∴Sn＝2n＋1－2＋． 21．(12分)在①an＋1＝，②为等差数列，其中，＋1，成等比数列，③＋＋＋…＋＝这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目． 已知数列{an}中，a1＝1，________． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝anan＋1，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn＜． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解析：　若选条件①： (1)易知an≠0，∵an＋1＝，∴－＝3． 又＝1， ∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列， ∴＝3n－2，∴an＝． (2)证明：由(1)可知，bn＝ ＝(－)， ∴Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝－＜， 故Tn＜． 若选条件②： (1)设数列的公差为d，则＝1＋d，＋1＝2＋2d，＝1＋5d， ∵，＋1，成等比数列， ∴(2＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝3或d＝－1． 当d＝－1时，＝1＋d＝0，此时，＋1，不能构成等比数列，∴d＝3， ∴＝1＋3(n－1)＝3n－2， ∴an＝． (2)证明：由(1)可知，bn＝ ＝(－)， ∴Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝－＜， 故Tn＜． 若选条件③： (1)由＋＋＋…＋＝知， 当n≥2时，＋＋＋…＋＝， 两式相减，得＝－＝3n－2， ∴an＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也适合上式， ∴an＝． (2)证明：由(1)可知，bn＝ ＝(－)， ∴Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝－＜， 故Tn＜． 22．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx的图象经过(－1，0)点，且在x＝－1处的切线斜率为－1．设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N＋)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列前n项的和Tn． 解析：　函数f(x)＝ax2＋bx的图象经过(－1，0)点， 则a－b＝0，即a＝b．① 因为f′(x)＝2ax＋b，函数f(x)＝ax2＋bx在x＝－1处的切线斜率为－1，所以－2a＋b＝－1，② 由①②得a＝1，b＝1， 所以数列{an}的前n项和Sn＝f(n)＝n2＋n． 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)， 所以an＝Sn－Sn－1＝2n． 当n＝1时，a1＝2符合上式，则an＝2n． (2)由于an＝2n， 则＝＝，则Tn ＝ ＝＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$