19.2.3 一次函数与方程、不等式讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册

19.2.3 一次函数与方程、不等式 认知定位 重点 1．理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系． 2．掌握用图象求解方程、不等式的方法． 难点 根据一次函数的图象求解方程和不等式． 认知要求 1．使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系． 2．使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集． 3．使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，并能通过图象法来求二元一次方程组的解． 考点导航 考点1 一次函数与一元一次方程 考点精讲 一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 【精讲1】（2023秋•宁国市校级月考）已知一次函数． （1）求该直线与坐标轴的交点坐标； （2）画出一次函数的图象； （3）由图可知，若方程，则方程的解为 　　． 【答案】（1）直线与轴交点为，与轴交点为； （2）如图所示； （3）． 【分析】（1）令和，求出和，即可求出直线与坐标轴的交点坐标； （2）过点与点作直线，即为一次函数的图象； （3）观察图象即可得出结论． 【解答】解：（1）时，， 时，， 则直线与轴交点为，与轴交点为； （2）过点与点作直线，即为一次函数的图象； （3）从图象上可知一次函数与轴的交点坐标为， 则关于的方程的解为的解是． 故答案为：． 【精讲2】（2022秋•清新区期中）已知函数． （1）若函数的图象经过原点，求的值； （2）若函数的图象与轴交点的纵坐标为，求方程的解． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）将代入函数解析式求解即可； （2）将代入函数解析式，求得，再将代入方程求解即可． 【解答】解：（1）该函数的图象经过原点， 可将代入，得：， 解得：； （2）该函数的图象与轴交点的纵坐标为， 可将代入，得：， 解得：． 将代入，得：， 解得：． 【精讲3】（2021春•防城区月考）如图，根据一次函数的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于的方程的解； （2）当时，代数式的值； （3）关于的方程的解． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出时对应的函数值即可 （3）利用函数图象写出函数值为时对应的自变量的值即可． 【解答】解：（1）当时，， 所以方程的解为； （2）当时，， 所以代数式的值为； （3）当时，， 所以方程的解为． 名师点拨 方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时x的值． 方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 考点2 一次函数与一元一次不等式 考点精讲 （1）任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围． （2）一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系： ax+b>0的解集y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围． ax+b<0的解集y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围． 【精讲1】（2023秋•秦淮区期末）一次函数，为常数）的图象经过点，． （1）求该函数的表达式； （2）画出该函数的图象； （3）不等式的解集为 　　． 【答案】（1）； （2）见解答； （3）． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利用描点法画函数图象； （3）结合函数图象，写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）把，分别代入得， 解得， 一次函数解析式为； （2）如图， （3）观察函数图象，不等式的解集为． 故答案为：． 【精讲2】（2023秋•寿县期末）在给出的网格中画出一次函数的图象，并结合图象求： （1）方程的解； （2）不等式的解集； （3）不等式的解集． 【分析】（1）利用描点法画出两个一次函数图象； （2）利用函数图象，找出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可； （3）利用函数图象，找出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）由图象可知，方程的解是， （2）由图象可知，不等式的解集是； （3）由图象可知，不等式的解集是：． 【精讲3】（2023春•天