19.2.2 一次函数 讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册

19.2.2 一次函数 认知定位 重点 1.理解一次函数的定义; 2.掌握一次函数的性质; 3.会用待定系数法确定一次函数解析式. 难点 1.理解一次函数的定义及与正比例函数的关系; 2.由一次函数图象归纳出一次函数的性质; 3.理解一次函数的平移规律; 4.灵活运用有关知识解决实际问题. 认知要求 1.理解一次函数的概念以及它与正比例函数的关系; 2.能根据问题的信息写出一次函数的表达式,能利用一次函数解决简单的问题; 3.理解直线y=kx+b与直线y=kx之间的位置关系; 4.会选择两个合适的点画出一次函数的图象; 5.掌握一次函数的性质; 6.学会用待定系数法确定一次函数解析式; 7.理解一次函数的平移规律. 考点导航 考点1 一次函数的定义 考点精讲 1.一般地,形如y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的函数,叫一次函数. 2.当b=0时,得y=kx,故正比例函数是一次函数的特例. 【精讲1】(2023秋•榆次区期中)某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习,同学们找到了许多生活中的函数.下面实例中,变量之间的关系不是一次函数的是( ) A.家庭用水的单价为4.1元/m3,每月的水费支出与用水量之间的关系 B.百米赛跑中,时间与速度之间的关系 C.相同规格的A4纸整齐放置,纸的厚度与纸的张数之间的关系 D.普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系 【答案】B 【分析】先对各选项根据题意列出函数关系式,再根据一次函数的定义进行判断即可. 【解答】解:A.设每月的水费支出为y元,用水量为x m3, 则y=4.1x,是一次函数,故不符合题意; B.百米赛跑中,时间t与速度v之间的关系为t=,是反比例函数,故符合题意; C.设每张厚度为a cm, 则纸的厚度y cm与纸的张数x之间的关系为y=ax,是一次函数,故不符合题意; D.普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系是一次函数,故不符合题意; 故选:B. 【精讲2】(2023秋•沂源县期末)下列函数:①y=x;②;③;④,其中一次函数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】根据形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数,叫做一次函数进行分析即可. 【解答】解:①y=x;③是一次函数,共2个. 故选:B. 【精讲3】(2023•朝阳区校级开学)函数y=(2m﹣1)xn+3+(m﹣5)是关于x的一次函数的条件为( ) A.m≠5且n=﹣2 B.n=﹣2 C.m≠且n=﹣2 D.m≠ 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义得到n+3=1,据此求得n的值. 【解答】解:∵函数y=(2m﹣1)xn+3+(m﹣5)是关于x的一次函数, ∴n+3=1且2m﹣1≠0, 解得 n=﹣2且m≠. 故选:C. 名师点拨 1. 判断一个函数是不是一次函数,主要看是否满足一次函数解析式的特征; 2. 已知一个一次函数,求字母系数时,要紧扣一次函数解析式的特征. 考点2 一次函数的图象与性质 考点精讲 1.一次函数的图象是一条直线; 2.画一次函数图象时,一般选择过(0,b),(,0)两个点作直线; 3.一次函数的性质: 对于y=kx+b(k≠0 ,b≠0). 当k>0,b>0,y=kx+b的图象在第一、二、三象限,y随x的增大而增大; 当k>0,b<0,y=kx+b的图象在第一、三、四象限,y随x的增大而增大; 当k<0,b>0,y=kx+b的图象在第一、二、四象限,y随x的增大而减小; 当k<0,b<0,y=kx+b的图象在第二、三、四象限,y随x的增大而减小. 【精讲1】(2023秋•利辛县校级期末)下列函数中,y随x的增大而减小的是( ) A.y=3+5x B.y=2x﹣4 C.y=4﹣3x D.y=x+3 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质解答即可. 【解答】解:A、一次函数y=3+5x中,∵k=5>0,∴y随x的增大而增大,不符合题意; B、一次函数y=2x﹣4中,∵k=2>0,∴y随x的增大而增大,不符合题意; C、一次函数y=4﹣3x中,∵k=﹣3<0,∴y随x的增大而减小,符合题意; D、一次函数y=x+3中,∵k=1>0,∴y随x的增大而增大,不符合题意. 故选:C. 【精讲2】(2023秋•文山市期末)若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则函数y=bx﹣k的大致图象是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,可以得到k和b的正负,然后根据一次函数的性质,即可得到一次函数y=bx﹣k图象经过哪几个象限,从而可以解答本题. 【解答】解:∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限, ∴k<0,b>0, ∴b>0,﹣k>0, ∴一次函数y=bx﹣k图象第一、二、三象限,