2024年中考数学（北师大版）二轮复习高频考点突破课件圆

二轮复习高频考点突破： 　圆 考点一　圆的性质 典例1　（2023·成都）如图①，以△ABC的边AC为直径作☉O，交边BC于点D，过点C作CE∥AB交☉O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE. （1） 求证：AC＝BC. （2） 若tanB＝2，CD＝3，求AB和DE的长. 思路导引　（1） 结合已知条件，根据同弧所对的圆周角相等及CE∥AB，可得∠ADE＝∠ACE＝∠BAC＝∠B，再由等角对等边即可证得结论.（2） 根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB＝∠ADC＝90°，结合已知条件，可得AD＝2BD，AC＝BC＝BD＋3，再利用勾股定理列方程即可求得BD，BC，AB的长. 连接AE，易得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例即可求得DE的长. 规范解答　（1） ∵ ∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B， ∴ ∠B＝∠ACE. ∵ CE∥AB， ∴ ∠BAC＝∠ACE. ∴ ∠BAC＝∠B. ∴ AC＝BC. （2） ∵ AC为☉O的直径， ∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°. ∴ tanB＝＝2，即AD＝2BD. ∵ CD＝3， ∴ AC＝BC＝BD＋CD＝BD＋3. ∵ AD2＋CD2＝AC2， ∴ （2BD）2＋32＝（BD＋3）2，解得BD＝2或BD＝0（不合题意，舍去）. ∴ AD＝2BD＝4，BC＝2＋3＝5. ∴ AB＝＝＝2. 如图②，连接AE. ∵ ∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB， ∴ △ADE∽△ABC. ∴ ＝，即＝. ∴ DE＝2. 方法归纳 与圆的性质有关的证明技巧 　　灵活运用圆的性质，可进行弧、弦、圆心角、圆周角之间的相互转换，以及等量间的转换，注意弦所对的圆周角有两种情况.必要时可添加辅助线，如构造圆心角、圆周角、垂径、直径等. 1. 如图，四边形ABCD内接于☉O，连接BD，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED. （1） 求证：BD＝ED. 1 2 3 解：（1） ∵ 四边形ABCD内接于☉O， ∴ ∠A＋∠BCD＝180°. ∵ ∠DCE＋∠BCD＝180°，∴ ∠A＝∠DCE.∵ ∠1＝∠2， ∴ ＝.∴ AD＝CD.在△ABD和△CED中， ∴ △ABD≌△CED.∴ BD＝ED. （第1题） （2） 若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值. 解：（2） 过点D作DM⊥BE于点M.∵ CE＝AB＝4，BC＝6， ∴ BE＝BC＋CE＝10.∵ BD＝ED，DM⊥BE， ∴ BM＝ME＝BE＝5，∠BMD＝∠CMD＝90°. ∴ CM＝BC－BM＝1.∵ ∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴ ∠2＝30°. ∴ 在Rt△BDM中，DM＝BM·tan∠2＝5×＝. ∴ tan∠DCB＝＝. （第1题） 1 2 3 考点二　与圆有关的位置关系 典例2　（2023·广元）如图①，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，连接AC，BC，过点C作☉O的切线，交AB的延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F. （1） 求证：∠BCD＝∠BOE. （2） 若sin∠BAC＝，AB＝10，求BD的长. 1 2 3 思路导引　（1） 连接OC，利用切线的性质及已知条件中的垂直关系即可证得结论.（2） 过点B作BH⊥CD于点H，再结合直径对直角、已知条件中的垂直关系，利用锐角三角函数列方程求解. 1 2 3 规范解答　（1） 如图②，连接OC. ∵ CD是☉O的切线， ∴ ∠OCD＝90°. ∴ ∠OCB＋∠BCD＝90°. ∵ OF⊥BC， ∴ ∠BEO＝90°. ∴ ∠BOE＋∠OBE＝90°. ∵ OC＝OB， ∴ ∠OCB＝∠OBC. ∴ ∠BCD＝∠BOE. 1 2 3 （2） 如图②，过点B作BH⊥CD于点H. ∵ AB为☉O的直径， ∴ ∠ACB＝90°，即AC⊥BC. ∵ sin∠BAC＝＝，AB＝10， ∴ BC＝6. ∵ OF⊥BC， ∴ AC∥OF.∴ ∠BOE＝∠BAC. ∵ ∠BCD＝∠BOE， ∴ ∠BAC＝∠BCD. ∴ sin∠BAC＝sin∠BCD＝＝.∴ BH＝. ∵ AB＝10， ∴ OB＝OC＝5. 1 2 3 ∵ sinD＝＝，即＝. ∴ BD＝. ∴ BD的长为. 1 2 3 2. （2023·怀化模拟）如图，AD是☉O的直径，P是☉O外一点，连接PO交☉O于点C，作PB，PD分别切☉O于点B，D，连接AB，AC. （1） 求证：AB∥OP. 解：（1） 如图，连接OB.∵ PB，PD分别切☉O于点B，D，∴ ∠PBO＝∠PDO＝90°，PB＝PD. 又∵ OB＝OD，OP＝OP，∴ △OBP≌△ODP. ∴ ∠BOP＝∠DOP＝∠BOD.∵ ∠BAD＝∠BOD， ∴ ∠B