2024年中考数学（北师大版）二轮复习高频考点突破课件 分式与分式方程图形的相似

二轮复习高频考点突破： 　图形的相似 ⁠ 考点一　相似三角形的性质、判定 典例1　如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，＝3，连接CH并延长，交AB于点G，连接GE并延长，交AD的延长线于点F. （典例1图） （1） 求证：＝. （2） 若∠CGF＝90°，求的值. 思路导引　（1） 通过证明相似三角形获证比例式.（2） 发现一线三垂直的“K”模型得到相似三角形，进而利用相似三角形的对应边成比例解决问题. 规范解答　（1） ∵ 四边形ABCD为矩形， ∴ AB∥CD. ∴ ∠HEC＝∠HBG，∠HCE＝∠HGB. ∴ △EHC∽△BHG. ∴ ＝. （2） ∵ 四边形ABCD为矩形， ∴ ∠A＝∠CBG＝90°，AB＝CD.∴ ∠AGF＋∠F＝90°.∵ ∠CGF＝90°， ∴ ∠AGF＋∠BGC＝90°.∴ ∠F＝∠BGC.∴ △AFG∽△BGC.∴ ＝. ∵ E为CD的中点， ∴ EC＝DE＝CD＝AB.∵ ＝＝3， ∴ BG＝EC＝AB. ∴ AG＝AB－BG＝AB.∵ AB∥CD，∴ ∠FDE＝∠A.又∵ ∠F＝∠F， ∴ △FDE∽△FAG. ∴ ＝＝. ∴ FA＝AD＝BC.∵ ＝，∴ ＝.∴ ＝18.∴ ＝3. ⁠ 1. （2022·清远模拟）如图，P为▱ABCD的边BC上的一点，E，F分别为PA，PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别记为S，S1，S2.若S＝2，则S1＋S2＝ 　18　⁠.  （第1题） 18　 考点二　相似三角形的应用 典例2　如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上的点A处放一面镜子后向后退到点B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到点C处，然后后退到点D处恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（点O，A，B，C，D在同一条直线上）.测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明的眼睛距地面高度BF（即DG）为1.6m，试确定楼的高度OE. 规范解答　设OE＝xm，OA＝am，BC＝bm，则AB＝（2－b）m， CD＝（2.1－b）m，CO＝（2＋a）m. 由题意，易知△AFB∽△AEO，△CGD∽△CEO， ∴ ＝，＝，即＝①， ＝②. 由①②，得a＝20（2－b）③.将③代入①，得＝，解得x＝32. ∴ 楼的高度OE是32m. 思路导引　由题意，可得两对相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例可得两个方程，联立方程. 方法归纳 相似三角形的实际应用技巧 　　利用相似三角形得到不可直接测量的物体高度的原理：借助光线或视线到达物体顶端，将光线或视线作为三角形的一边所在的直线，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例求物体的高度.注意有时需构造两对或多对相似三角形，再分别由它们的对应边成比例列方程，联立组成方程组，解方程组即可解决问题. ⁠ 2. （2023·营口期末）如图，路边有两根电线杆相距4m，分别在高为3m的点A处和高为6m的点C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高度. （第2题） 解：如图，过点M作MN⊥BD于点N，则∠MND＝∠MNB＝90°.由题意，得∠ABD＝∠CDB＝90°，BD＝4m，AB＝3m， CD＝6m.∵ ∠MND＝∠ABD＝90°，∠MDN＝∠ADB， ∴ △MDN∽△ADB.∴ ＝①.同理，可证△BMN∽△BCD. ∴ ＝②.①＋②，得＋＝1.∴ MN＝2m，即铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高度为2m. ⁠ 1.（2022·泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，E是边AB上的点，且 BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（　B　） A. B. C. D. 1 （第1题） B 2. （2023·驻马店期末）如图，在平面直角坐标系中，△A1OB1与△AOB位似，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为（2，3），则点A1的坐标是 　　⁠.  （第2题） 　 3. （2021·宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 　　⁠.  （第3题） 　 4. 已知＝＝＝＝k，求k2－3k－4的值. 解：当a＋b＋c＋d≠0时，∵ ＝＝＝＝k，∴ 由等比性质，可得＝k.∴ k＝.∴ k2－3k－4＝－3×－4＝－.当a＋b＋c＋d＝0时，b＋c＋d＝－a，∴ k＝＝＝－2. ∴ k2－3k－4＝（－2）2－3×（－2）－4＝6.综上所述， k2－3k－4的值为－或6. 5. （2023·菏泽期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB的延长线上的一点，连接DE交边AB于点