2024年中考数学（北师大版）二轮复习高频考点突破课件 分式与分式方程反比例函数

二轮复习高频考点突破： 　反比例函数 ⁠ 考点一　反比例函数的图象与性质 典例1　（2022·开封模拟）对于反比例函数y＝－，有下列说法：① 图象经过点（1，－3）；② 图象在第二、四象限；③ 当x＞0时，y随x的增大而增大；④ 点A（x1，y1），B（x2，y2）都在双曲线y＝－上，若x1＜x2，则y1＜y2.其中，正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 规范解答　将x＝1代入y＝－，得y＝－3，∴ 图象经过点（1，－3）.故①正确.∵ －3＜0，∴ 反比例函数y＝－的图象在第二、四象限.故②正确.当x＞0时，图象位于第四象限，y随x的增大而增大.故③正确.当点A（x1，y1），B（x2，y2）位于同一象限内时，若x1＜x2，则y1＜y2.当点A（x1，y1），B（x2，y2）分别位于第二、四象限内时，若x1＜x2，则y1＞y2.故④错误.综上所述，正确的有3个.故选C. 思路导引　根据反比例函数的图象与性质逐个分析. ⁠ 1.（2021·金华）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝－的图象上.若x1＜0＜x2，则（　B　） A. y1＜0＜y2 B. y2＜0＜y1 C. y1＜y2＜0 D. y2＜y1＜0 B 考点二　反比例函数的应用 典例2（2023·莱阳期中）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（Pa）与气球体积V（m3）之间成反比例关系，其图象如图所示. （1） 求p与V之间的函数表达式. （2） 当V＝2.5时，求p的值. （3） 当气球内的气体的压强大于40000Pa时，气球会爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？ 思路导引　（1） 利用待定系数法求解.（2） 利用表达式代值计算.（3） 利用表达式列不等式求解，也可先利用表达式求出界点，再利用图象与性质求解. 规范解答　（1） 设p与V之间的函数表达式为p＝.将（1.5，16000）代入，得 ＝16000，解得k＝24000.∴ p与V之间的函数表达式为p＝. （2） 当V＝2.5，p＝＝9600，∴ p的值为9600. （3） ∵ 气球内气体的压强大于40000Pa时，气球会爆炸，∴ p≤40000. ∴ ≤40000，解得V≥.∴ 为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于m3. ⁠ 2. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后的用时x（min）是反比例函数关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示. （第2题） 解：（1） 当0≤x≤7时，设y与x之间的函数表达式为 y＝kx＋b.将（0，30），（7，100）代入，得b＝30， 7k＋b＝100，解得k＝10，b＝30.∴ 当0≤x≤7时，y与x 之间的函数表达式为y＝10x＋30.当x≥7时，设y与x之间 的函数表达式为y＝.将（7，100）代入，得100＝，解得 a＝700.∴ 当x≥7时，y与x之间的函数表达式为y＝. 当y＝30时，x＝.∴ y与x之间的函数表达式为y＝　 （第2题） （1） 求y与x之间的函数表达式. （2） 若小萱同学想接到高于50℃的水，则她最多需要等待多长时间？ 解：（2） 将y＝50代入y＝10x＋30，得x＝2；将y＝50代入 y＝，得x＝14.∵ 14－2＝12（min）， －12＝（min）， ∴ 小萱同学想接到高于50℃的水，最多需要等待min. （第2题） 考点三　反比例函数与一次函数的综合题 典例3　（2021·乐山）如图①，直线l分别交x轴、y轴于A，B两点，交反比例函数 y＝（k＜0）的图象于P，Q两点.若AB＝2BP，且△AOB的面积为4. 　 （1） 求k的值. （2） 当点P的横坐标为－1时，求△POQ的面积. 思路导引　（1） 已知条件中存在面积条件，因此考虑利用反比例函数的几何意义求k的值，过点P作PM⊥y轴于点M，构造相似三角形，由此可解决问题.（2） 求△POQ的面积需要求出P，Q两点的坐标，由此需要求出直线l对应的函数表达式，由已知条件易求得点P，点A或点B的坐标，由此可解决问题. 规范解答　（1） ∵ AB＝2BP，且△AOB的面积为4，∴ 易知△POB的面积为2. 如图②，过点P作PM⊥y轴于点M.∴ PM∥OA.∴ 易知△PBM∽△ABO. ∴ ＝. ∵ AB＝2BP，∴ ＝. ∴ △PBM的面积为1. ∴ S△POM＝1＋2＝3. ∵ S△POM＝｜k｜，∴ ｜k｜＝6. ∵ k＜0，∴ k＝－6. （2） ∵ 点P的横坐标为－1，∴ PM