第10讲 立体图形的直观图与斜二测画法（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 第10讲 立体图形的直观图与斜二测画法（精讲） ①斜二测画法辨析 ②斜二测画法画平面图形的直观图 ③斜二测画法画立体图形的直观图 ④由直观图还原几何图形 ⑤斜二测画法中相关量的计算（长度、面积等） 一、空间几何体的直观图 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. 二、斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. 3.旋转体及其相关概念 斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有 以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原 来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 三、平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 1.以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . 2.平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为，由斜二测画法得到的直观图的面积为，则有=. 题型一：斜二测画法辨析 解题策略 根据斜二测画法画直观图的规则和步骤，进行理解. 【例1】（判断题）（22-23高一·全国·随堂练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“正确”，错误的画“错误”. （1）三角形的直观图是三角形( ) （2）平行四边形的直观图是平行四边形( ) （3）正方形的直观图是正方形( ) （4）菱形的直观图是菱形( ) 【答案】 正确 正确 错误 错误 【分析】根据斜二测画法的知识对个结论进行判断. 【详解】根据斜二测画法的知识可知 （1）三角形的直观图是三角形，结论正确. （2）平行四边形的直观图是平行四边形，结论正确. （3）正方形的直观图是平行四边形，所以原结论错误.    （4）正方形是菱形，由上图可知，其直观图不是菱形，所以原结论错误. 故答案为：正确；正确；错误；错误 一、单选题 1．（22-23高一下·全国·课后作业）利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 2．（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 3．（22-23高一下·湖南·期中）下列关于平面图形的直观图的叙述中，正确的是（    ） A．等腰三角形的直观图仍是一个等腰三角形 B．若某一平面图形的直观图面积为，则原图形面积为 C．原图形中相等的线段，其直观图也一定相等 D．若三角形的周长为12，则其直观图的周长为6 二、多选题 4．（22-23高一下·山东青岛·期中）下列说法正确的是（    ） A．平行线段在直观图中仍然平行 B．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 5．（22-23高一下·湖南娄底·期末）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 三、填空题 6．（22-23高一·全国·课时练习）在“斜二测”作图时，1cm长的线段，在x、y方向上直观图的长