3.1.3 函数的奇偶性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

3.1.3　函数的奇偶性 [课标解读]1.奇、偶函数的概念.2.奇偶性的几何意义.3.奇、偶函数的应用． 知识点一　函数的奇偶性 1．奇、偶函数的定义 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 结论 则称y＝f(x)为偶函数 则称y＝f(x)为奇函数 定义域特征 定义域关于原点对称 等价形式 若f(x)≠0，则＝－1⇔f(x)为奇函数，＝1⇔f(x)为偶函数 说明：　若一个函数是偶函数或奇函数，则称这个函数具有奇偶性；若一个函数既不是奇函数又不是偶函数，则称为非奇非偶函数． 利用定义法判断函数奇偶性的步骤 (1)一看定义域．定义域D要具有对称性，即对∀x∈D，－x∈D，也就是说奇、偶函数的定义域要关于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数． (2)二看等式．当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系： ①f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数； ③f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数； ④f(－x)＝±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，且D关于原点对称． 知识点二　奇、偶函数的图像特征(几何意义) 1．奇函数的图像特征(几何意义) 奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数． 2．偶函数的图像特征(几何意义) 偶函数的图像关于y轴对称；反之，结论也成立，即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数． (1)若f(x)是奇函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，－f(x))也在其图像上． (2)若f(x)是偶函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，f(x))也在其图像上． 1．(多选)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝2x2－3 B．y＝x3 C．y＝|| D．y＝x AC　[对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)， ∴f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域x≠0，f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故选A，C.] 2．函数f(x)＝－x的图像(　　) A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称 C　[∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图像关于原点对称．] 3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　) A．－2 B．2 C．0 D．不能确定 B　[因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.] 4．下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号) 　 解析：　(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数． 答案：　(2)(4)　(1)(3) 5．给出下列结论： ①若f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)是偶函数； ②若f(x)是偶函数，则它的定义域关于原点对称； ③若f(－2)＝f(2)，则f(x)(x∈R)是偶函数； ④若f(x)(x∈R)是偶函数，则f(－2)＝f(2)； ⑤若f(2)≠f(－2)，则f(x)(x∈R)不是偶函数； ⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)； ⑦若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0. 其中正确的结论是________(填序号). 解析：　只有f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝f(x)时，f(x)才是偶函数，故①错误； f(x)的定义域关于原点对称是f(x)为偶函数的必要条件，故②正确； 对任意x∈R，满足f(－x)＝f(x)，f(x)才是偶函数，仅凭两个特殊的函数值相等不足以判断函数的奇偶性，故③错误而④正确； 为了说明f(x)不是偶函数，举一个反例即可，故⑤正确； f(x)＝0，定义域为[－1，1]，该函数既是奇函数又是偶函数，故⑥错误； 由于f(x)是奇函数，且定义域为R，所以∀x∈R，f(－x)＝－f(x)，令x＝0，则f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0，故⑦正确． 答案：　②④⑤⑦ 题型一　函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝2－|x|； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝. 点拨：　判断函数的奇偶性时，应先求函数的定义域，若定义域关于坐标原点不对称，则可直接判定此函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于坐标原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 解析：　(1)∵函数f(x)的定义域是{x|x≠1}，关于坐标原点不对称，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)易知函数f(x)的定义域为R，关于坐标原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于坐标原点对称，且f(－1)＝f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数也是偶函数． (4)f(x)的定义域为R. 方法一　∵f(－x)＋f(x)＝＋ ＝ ＝＝0， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 方法二　当x＝0时，f(x)＝0；当x≠0时，f(x)≠0， 此时＝ ＝ ＝＝－1， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． 函数奇偶性判断的方法 (1)定义法： (2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称．则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．　　 即时练1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2－x3； (3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|； (4)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R). 解析：　(1)∵函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的． ∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3， 又－f(x)＝－x2＋x3， ∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x). 故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数． (3)方法一(定义法)　函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称． ∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2| ＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)， ∴f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数． 方法二(根据图像进行判断) f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝ 画出函数图像如图所示， f(x)的图像关于原点对称，因此f(x)是奇函数． (4)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数． 当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，取x＝±1， 得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， 即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)， ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 综上所述，当a∈R且a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，f(x)为偶函数． 题型二　函数奇偶性的图像特征 已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图像如图所示，则不等式＜0的解集是________． 点拨：　本题可以借助函数图像的对称性，画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，0]上的图像，结合图像可以得出使得f(x)，g(x)大于零或小于零的区间，从而求得＜0的解集． 解析：　y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数． 根据函数图像的对称性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，0]上的图像如图所示． 由图可知f(x)＞0⇒0＜x＜2或－2＜x＜0， f(x)＜0⇒2＜x＜3或－3＜x＜－2， g(x)＞0⇒1＜x＜3或－1＜x＜0， g(x)＜0⇒0＜x＜1或－3＜x＜－1. 当＜0时，有或则可得所求不等式的解集是{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3}． 答案：　{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3} 根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题．　　 即时练2.偶函数y＝f(x)的局部图像如图所示，则(　　) A．f(1)＞f(3) B．f(1)＜f(3) C．f(1)＝f(3) D．不能确定f(1)与f(3)的大小 B　[方法一　因函数f(x)是偶函数， 所以其图像关于y轴对称，补全图如图． 由图像可知f(1)<f(3). 方法二　由图像可知f(－1)<f(－3). 又函数y＝f(x)是偶函数， 所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)， 故f(1)<f(3).] 题型三　利用函数奇偶性求参数 (1)已知f(x)＝(x＋1)(x－b)是偶函数，且其定义域为[2a－1，a]，则a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ (2)(2021·吉林省吉林市期中考试)已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，定义域为[a－1，2a] ，则a＋b＝________，单调递减区间是________． 解析：　(1)∵函数f(x)是偶函数，∴定义域关于原点对称， 则2a－1＋a＝0，得a＝， 因为f(x)＝(x＋1)(x－b)， 所以对应的方程(x＋1)(x－b)＝0的两根－1，b关于原点对称，则－b＝－1， 得b＝1， 则a＋b＝＋1＝. 故选B. (2)根据题意，f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]， 则有(a－1)＋2a＝0，解得a＝， f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为二次函数，其对称轴为x＝－， 因为f(x)为偶函数，则必有－＝0，则b＝0，则a＋b＝； f(x)＝＋1，其递减区间为. 答案：　(1)B　(2)　 利用函数奇偶性求参数的解题思路 奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型． (1)定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解． (2)解析式含参，需根据f(x)＝f(－x)或f(x)＝－f(－x)列式，比较各项的系数求解．　　 即时练3.(1)已知f(x)是定义在[m－5，1－2m]上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(m)的值为(　　) A．－8 B．8 C．－24 D．24 (2)(2021·北京市市辖区期末考试)已知偶函数f(x)＝x2＋bx＋c，写出一组使得f(x)≥2恒成立的b，c的取值：b＝________，c＝________． 解析：　(1)由奇函数的对称性可知，m－5＋1－2m＝0， ∴m＝－4， ∵x≥0时，f(x)＝x2－2x，f是奇函数， ∴f(m)＝f(－4)＝－f(4)＝－＝－8. 故答案为A. (2)∵偶函数f(x)＝x2＋bx＋c， ∴b＝0， ∴f(x)＝x2＋c， ∵x2≥0，∴f(x)≥c， ∴取c＝2时，有f(x)≥2恒成立， 故答案为：0，2.(c的值不唯一). 答案：　(1)A　(2)0　2 题型四　函数奇偶性的应用 考点1　利用函数奇偶性求解析式 (1)已知函数f(x)是偶函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，试求当x＜0时，f(x)的解析式； (2)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝－x＋1，试求f(x)的解析式． 点拨：　解答这类问题的方法是，求哪个区间上的解析式，就在那个区间上设x，变号后代入已知的函数解析式，再结合函数的奇偶性求解． 解析：　(1)当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x). ∵函数f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴当x＜0时，f(x)＝－x(1－x). (2)当x＜0时，－x＞0， ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1. 又函数f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1. ∴当x＜0时，f(x)＝－x－1. 当x＝0时，f(0)＝0. 综上可得，f(x)的解析式为f(x) ＝ 利用函数奇偶性求函数解析式的方法 已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下： (1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上； (2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中； (3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x). 注意：若奇函数定义域包含0，则必有f(0)＝0.　　 考点2　函数单调性与奇偶性的综合应用 已知奇函数f(x)是定义在(－1，1)上的减函数，则不等式f(1－x)＋f(1－3x)＜0的解集为________． 点拨：　 解析：　f(1－x)＋f(1－3x)＜0，即f(1－x)＜－f(1－3x). 因为f(x)是奇函数，所以f(1－x)＜f(3x－1). 又函数f(x)是定义在(－1，1)上的减函数， 所以解得0＜x＜. 故所求不等式的解集为. 答案：　 1．函数奇偶性和单调性的关系 (1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性． (2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性． 2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解． (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．　　 即时练4.(1)若函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数(f(x)，g(x)的定义域相同)，且f(x)＋g(x)＝，则f(x)＝________； (2)(2021·广东省揭阳市期末考试)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________． 解析：　(1)∵f(x)＋g(x)＝，① 以－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝. 又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f(x)－g(x)＝－.② 由①＋②，得2f(x)＝－＝， ∴f(x)＝(x≠±1). (2)∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， 则f(2|a－1|)>f(－)，等价为f(2|a－1|)>f()， 即－<2|a－1|<， 则|a－1|<，即<a<， 故答案为：(，). 答案：　(1)(x≠±1)　(2)(，) 易错一　判断奇偶性时忽略定义域致错 1．判断函数f(x)＝(1＋x)的奇偶性． 正解：　(1＋x)有意义时必须满足≥0，解得－1＜x≤1，即函数f(x)的定义域是{x|－1＜x≤1}． 因为函数的定义域关于坐标原点不对称， 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数． [易错探因]　解答本题时易忽略函数的定义域得到如下错解： ∵f(x)＝(1＋x)＝＝， ∴f(－x)＝＝＝f(x)， ∴f(x)＝(1＋x)是偶函数． [误区警示]　因为函数的定义域是否关于坐标原点对称是判断函数奇偶性的前提，所以判断函数的奇偶性时，应先判断函数的定义域是否关于坐标原点对称． 易错二　判断奇偶性时忽略分段函数的特殊性 2．判断函数f(x)＝的奇偶性． 正解：　当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)； 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)； 而当x＝0时，f(0)＝3≠－f(0)， 所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． [误区警示]　函数的奇偶性是函数的一个整体性质，是针对函数的整个定义域而言的．因此判断函数的奇偶性时，要考虑整个定义域，依据定义，判断是否“任意一个x”都满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x).分段函数的奇偶性的判断要严格按照定义进行，否则容易出错． 易错三　忽略题目中的隐含条件致错 3．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b是定义在区间[－2b，3b－1]上的偶函数，则函数f(x)的值域为________． 正解：　∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即a＝0. 又f(x)的定义域为[－2b，3b－1]， ∴－2b＋3b－1＝0，∴b＝1. ∴f(x)＝x2＋1，x∈[－2，2]， ∴函数f(x)的值域为[1，5]. 答案：　[1，5] [误区警示]　f(x)是奇(偶)函数，包含两个条件：①定义域关于坐标原点对称；②f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x)).切记不能漏掉①. 学科网（北京）股份有限公司 $$