3.1.2 第2课时 函数最值及平均变化率-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

第2课时　函数最值及平均变化率 题型一　图像法求函数的最值 如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图像，指出它的最大值、最小值及单调区间． 点拨：　观察函数图像，最高点坐标(3，3)，最低点(－1.5，－2). 解析：　观察函数图像可以知道，图像上位置最高的点是(3，3)，最低的点是(－1.5，－2)， 所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3， 当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2. 函数的单调递增区间为[－1.5，3)，[5，6)， 单调递减区间为[－4，－1.5)，[3，5)，[6，7]. 图像法求最值的一般步骤 　　 即时练1.已知函数f(x)＝. 画出函数f(x)的图像，并根据图像求函数f(x)在区间[－2，2]上的值域． 解析：　作出函数f(x)的图像 ∵f(0)＝4，f(2)＝8，f(－2)＝6， ∴由图像知函数f(x)的值域为[4，8]. 题型二　利用单调性求函数的最大(小值) 函数y＝2x＋的最小值为________． 点拨：　判断这个函数的单调性，会发现函数在定义域上单调递增，由此可求最小值；也可用换元法求解． 解析：　方法一(单调性法)　显然函数y＝2x＋的定义域为[1，＋∞).因为函数y＝2x与y＝在[1，＋∞)上都单调递增，故y＝2x＋在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，ymin＝2＋＝2，即函数的最小值为2. 方法二(换元法)　令＝t，则t≥0，x＝t2＋1， 所以y＝2t2＋t＋2＝2＋， 且y在[0，＋∞)上是增函数，故当t＝0时，ymin＝2，即函数的最小值为2. 答案：　2 1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的那一个．　　 即时练2.已知函数f(x)＝. 求f(x)的定义域、值域和单调区间． 解析：　(1)定义域为{x|x≠1}， f(x)＝＝＝2＋， 故f(x)≠2，即值域为{y|y≠2}， f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)，无单调递增区间． 题型三　函数的平均变化率 判断函数f(x)＝在(1，＋∞)上的单调性． 点拨：　与0比较大小即可判断． 解析：　设x1，x2∈(1，＋∞)且x1≠x2， 则＝＝. 易知x2－1＞0，x1－1＞0， 所以＜0， 所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减． (1)若的绝对值大，则说明自变量从x1变化到x2时，对应的函数值f(x1)与f(x2)的差的绝对值大，也就是函数y＝f(x)变化得快，如图①所示． 　　 ①　　　　　　　　　② (2)若的绝对值小，则说明自变量从x1变化到x2时，对应的函数值f(x1)与f(x2)的差的绝对值小，也就是函数y＝f(x)变化得慢，如图②所示．　　 即时练3.已知函数y＝(x∈[2，6]).判断并证明f(x)的单调性． 解析：　函数y＝在[2，6]上单调递减， 证明如下： 设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1≠x2， 则＝－， 因为x1－1>0，x2－1>0， 则＝－<0 , 所以，函数y＝在上单调递减． 微专题(三)　解题思想方法 利用函数最值或分离参数求解恒成立问题 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞). (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围． 解析：　(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2. 设1≤x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1). ∵1≤x1<x2，∴x2－x1>0，2x1x2>2， ∴0<<，1－>0， ∴f(x2)－f(x1)>0，f(x1)<f(x2). ∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝. (2)在区间[1，＋∞)上f(x)>0恒成立 ⇔x2＋2x＋a>0恒成立． 设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数． 所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a. 于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立， 故a的取值范围为(－3，＋∞). 名师点评：　在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论： a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max； a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min. 学科网（北京）股份有限公司 $$