3.1.2 第1课时 函数的单调性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

3.1.2　函数的单调性 [课标解读]1.函数的单调性的定义.2.函数的最值.3.函数的平均变化率． 知识点一　函数的单调性 1．增函数、减函数的定义 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且区间I⊆D，如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 结论 则称y＝f(x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增) 则称y＝f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减) 图示 自左向右图像逐渐上升 自左向右图像逐渐下降 (1)“区间I⊆D”说明函数的单调区间是其定义域的子集，不一定是定义域． (2)x1，x2的三个特征： ①同区间性，即x1，x2∈I； ②任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2； ③有序性，即需要区分大小，通常规定x1<x2. (3)自变量的大小与函数值的大小关系： ①单调递增：x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)，x1＞x2⇔f(x1)＞f(x2). ②单调递减：x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)，x1＞x2⇔f(x1)＜f(x2). 即可以利用单调递增、单调递减的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化． (4)若f(x)在区间I上为增(减)函数，则函数f(x)的图像在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降). 2．单调性、单调区间、单调函数 如果一个函数在某个区间I上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间I上具有单调性．区间I称为函数的单调区间． 如果一个函数在其整个定义域内具有单调性，则称此函数是单调函数． (1)由于函数在单独的一个x值处不存在单调性，因此写单调区间时可以包括区间端点，也可以不包括，但单调区间一定不包括使函数无意义的x的值． (2)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或逗号连接． 知识点二　函数的最大(小)值 名称 定义 几何意义 函数的 最大值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点． 函数的最大值对应其图像最高点的纵坐标． 函数的 最小值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点． 函数的最小值对应其图像最低点的纵坐标． 说明：　最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点． 函数的最值和值域的联系与区别 (1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域． (2)区别： ①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在； ②若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素； ③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值． 知识点三　函数的平均变化率 1．直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称 为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在． (1)直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度． (2)若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为k＝. 2．平均变化率 一般地，当x1≠x2时，称 ＝ 为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率． 利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性． (1)Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2). (3)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2，2]上的图像先下降后上升，值域是[0，4]. (4)平均变化率的几何意义是函数y＝f(x)图像上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率． (5)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”．只有当Δx＝x2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”． 1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，且对定义域内任意实数x1，x2，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则f(x)在(a，b)上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先单调递减再单调递增 D．先单调递增再单调递减 B　[(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0， 则或 即当x1<x2时，f(x1)>f(x2)或当x1>x2时，f(x1)<f(x2). 不论哪种情况，都说明f(x)在(a，b)上单调递减．故选B.] 2．(2021·天津市市辖区期中考试)函数y＝－x2＋1的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞) A　[函数y＝－x2＋1是二次函数，它的图像是开口向下的抛物线，图像的对称轴为x＝0， 故该函数的递增区间为(－∞，0]，故选A.] 3．函数f(x)在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．f(－2)，0 B．0，2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 C　[由图像知点(1，2)是最高点，故ymax＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故ymin＝f(－2).] 4．函数f(x)＝x－2，x∈{0，1，2，4}的最大值为________． 解析：　函数f(x)自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为f(4)＝2. 答案：　2 5．函数y＝2x＋1在区间[0，5]上的平均变化率为__________． 解析：　由平均变化率的定义可得 ＝＝2， 故函数y＝2x＋1在区间[0，5]上的平均变化率为2. 故答案为2. 答案：　2 第1课时　函数的单调性 题型一　利用函数图像求单调区间 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则该函数的减区间为(　　) A．(－3，1)∪(1，4)　　　 B．(－5，－3)∪(－1，1) C．(－3，－1)，(1，4) D．(－5，－3)，(－1，1) 点拨：　观察图像，若图像呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间． C　[在某个区间上，若函数y＝f(x)的图像是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4).] 图像法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图像． (2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间．　　 即时练1.(2021·宁夏回族自治区吴忠市期中考试)函数f(x)＝|x－1|＋3x的单调递增区间是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[0，＋∞) D．(－∞，＋∞) D　[当x≥1时，f(x)＝x－1＋3x＝4x－1，在[1，＋∞)递增，当x<1时，f(x)＝1－x＋3x＝2x＋1，在(－∞，1)递增，且函数在x＝1处连续， 故f(x)在R递增，故选D.] 题型二　函数的单调性判断与证明 根据定义证明函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上单调递增． 点拨：　在定义域内取x1<x2，代入y求y1－y2，化简的结果与0比较大小，由定义得出函数的单调性． 证明：　∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，有 y1－y2＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1x2－1). 由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1， 所以x1x2>1，x1x2－1>0. 又由x1<x2，得x1－x2<0. 于是(x1x2－1)<0，即y1<y2. 所以，函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上单调递增． 利用定义证明函数单调性的步骤 注：作差变形是解题关键　　 即时练2.(2021·云南省昭通市月考试卷)已知f(x)＝x＋.判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性并用定义法证明． 解析：　f(x)在[2，＋∞)上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋) ＝(x1－x2)＋＝， 因为2≤x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>4， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)＝x＋在[2，＋∞)上为增函数． 题型三　由函数的单调性求参数的取值范围 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围． 点拨：　首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解． 解析：　∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]. ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合． ∴1－a≥4，解得a≤－3. 故a的取值范围为(－∞，－3]. “函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．　　 即时练3.例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？ 解析：　由例3知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]. ∴1－a＝4，a＝－3. 易错点　求单调区间时，因忽略定义域而致错 　函数f(x)＝的单调区间为________． 正解：　f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞). 设x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝>0，即f(x1)>f(x2)， 故f(x)在(－1，＋∞)上为单调递减函数． 同理，可证得f(x)在(－∞，－1)上也为单调递减函数． 综上，原函数的单调减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞). 答案：　(－∞，－1)，(－1，＋∞) [易错探因]　本题易错地方(1)是忽略函数的定义域，得到如下错解： 设x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝ >0，即f(x1)>f(x2). 所以f(x)在R上为单调减函数，即单调减区间为(－∞，＋∞). 事实上，当x2>－1而x1<－1时，(1＋x1)(1＋x2)<0， 于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 究其原因，没有求得f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，而其单调区间必须是其定义域的某个子区间．所以用定义法求其单调区间时，x1，x2必同为其某一子区间上任取的两个值，而不能分别在两个不同区间上取值． (2)易错在求解完成写单调区间时，没有用“，”连接，而错用“∪”连接． [误区警示]　求函数的单调区间时，一般应先考虑定义域，然后在定义域内求出函数的单调区间，否则容易出错． 学科网（北京）股份有限公司 $$