2.2.3 一元二次不等式的解法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

2.2.3　一元二次不等式的解法 [课标解读]1.一元二次不等式的概念.2.一元二次不等式的解法． 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． 一元二次不等式的二次项系数a有a>0和a<0两种，注意a≠0.当a<0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式． 知识点二　一元二次不等式的解法 1．用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞). (1)这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”． (2)因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解． 依据是：ab>0当且仅当或； ab<0当且仅当或 2．用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到不等式的解集． (1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集． (2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧． 知识点三　简单分式不等式的解法 分式不等式的概念 分母中含有未知数的不等式称为分式不等式． 当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意． 1．(多选)下列不等式中是一元二次不等式的是(　　) A．a2x2＋2≥0(a≠0)　　　 B．<3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0 AC　[选项A中，a2≠0符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；选项C符合．] 2．(2021·全国同步练习)不等式x2－2x－5>2x的解集是(　　) A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1} C．{x|－1<x<5} D．{x|－1≤x≤5} B　[原不等式等价于：x2－4x－5>0， 即(x＋1)(x－5)>0， 解得x<－1或x>5. 故原不等式解集为{x|x>5或x<－1}，故选B.] 3．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 C　[y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0， 即x2＋50x－30 000≥0， 解得x≥150或x≤－200(舍去).] 4．(2021·湖北省武汉市期末考试)不等式x2－2x－3<0的解集是__________． 解析：　x2－2x－3＝0的两个根分别为－1，3， ∴不等式x2－2x－3<0的解集为(－1，3). 故答案为(－1，3). 答案：　(－1，3) 5．不等式≥0的解集是__________． 解析：　因为不等式≥0可转化为 解得：－≤x<， 所以原不等式的解集为： ， 故答案为： . 答案：　 题型一　解不含参数的一元二次不等式 求下列不等式的解集： (1)2x2＋5x－3<0；　(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0；　(4)－x2＋6x－10>0. 点拨：　利用因式分解法或配方法求解． 解析：　(1)原不等式可化为(2x－1)(x＋3)<0， ∴原不等式的解集为. (2)原不等式可化为3x2－6x＋2≥0. 配方得3(x－1)2－1≥0，即(x－1)2≥. 两边开平方得，|x－1|≥. ∴x－1≤－或x－1≥，∴x≤1－或x≥1＋. ∴原不等式的解集为. (3)原不等式可化为(2x－1)2>0， ∴原不等式的解集为. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， 配方得(x－3)2<－1.∵(x－3)2≥0， ∴原不等式的解集为∅. 我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程： 　　 即时练1.(2021·西藏自治区林芝地区期末考试)解下列不等式： (1)x2＋x－12≤0； (2)－4x2＋4x－1<0； (3)5x2－7x＋3≤0. 解析：　(1)解方程x2＋x－12＝0， 其中a＝1，b＝1，c＝－12， Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－12)＝49， ∴x1＝＝3，x2＝＝－4， ∴不等式x2＋x－12≤0的解集为：； (2)不等式两边同乘－1得：4x2－4x＋1>0， 解方程4x2－4x＋1＝0， 其中a＝4，b＝－4，c＝1， Δ＝b2－4ac＝16－4×4×1＝0， ∴x1＝x2＝－＝； ∴不等式－4x2＋4x－1<0的解集为：； (3)解方程5x2－7x＋3＝0， 其中a＝5，b＝－7，c＝3， 且Δ＝b2－4ac＝－11<0， ∴不等式5x2－7x＋3≤0的解集为∅. 题型二　三个“二次”之间的关系 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 点拨：　→ ―→―→ ―→ 解析：　方法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系可知＝－5，＝6. 由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0， 即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>.所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为 方法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a(x－)<0.又a<0，故原不等式的解集为. (1)一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换． (2)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．　　 即时练2.(2021·全国月考试卷)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B. (1)求A∩B； (2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集． 解析：　(1)由x2－2x－3<0得－1<x<3， 所以A＝{x|－1<x<3}． 由x2＋x－6<0得－3<x<2， 所以B＝{x|－3<x<2}， ∴A∩B＝{x|－1<x<2}． (2)因为不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B＝{x|－1<x<2}, 所以－1和2是方程x2＋ax＋b＝0的解， 因此 解得 代入ax2＋x＋b<0得－x2＋x－2<0， 即为x2－x＋2>0，x2－x＋2＝(x－)2＋>0恒成立， ∴不等式的解集为R. 题型三　简单的分式不等式的解法 解下列不等式． (1)≥0； (2)>1. 点拨：　把分式不等式转化为一元二次不等式求解，注意分母不等于0. 解析：　(1)方法一　∵≥0， ∴ ∴即x<－或x≥. ∴原不等式的解集为. 方法二　原不等式可化为 或 解得x≥或x<－， ∴原不等式的解集为. (2)方法一　原不等式可化为－1>0，即<0， ∴或 解得或 ∴－3<x<－. ∴原不等式的解集为. 方法二　原不等式可化为>0， 即<0， ∴(2x＋1)(x＋3)<0，∴－3<x<－. ∴原不等式的解集为. 方法三　原不等式可化为(2－x)(x＋3)>(x＋3)2， 即(2x＋1)(x＋3)<0，∴－3<x<－， ∴原不等式的解集为. (1)解分式不等式的关键是把分式不等式等价转化为整式不等式求解，特别注意不能直接去分母． (2)当分式不等式的右边不为0时，要先移项、通分、合并同类项，再进行等价转化．　　 即时练3.不等式≤0的解集为(　　) A． B． C．∪[1，＋∞) D．∪[1，＋∞) A　[不等式≤0等价于解得－<x≤1， 故不等式的解集为，故选A.] 题型四　含参数的一元二次不等式的解法 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 点拨：　→→ → 解析：　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 当a<0时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}； 当0<a<1时，a2<a，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}； 当a>1时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}． 综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}． 含参数一元二次不等式求解步骤 (1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小； (4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．　　 即时练4.解关于x的不等式：x2－(2＋a)x＋2a<0. 解析：　x2－(2＋a)x＋2a＝(x－a)(x－2)<0， ∵y＝x2－(2＋a)x＋2a的图像开口向上， ∴当a<2时，原不等式的解集是{x|a<x<2}， 当a＝2时，原不等式的解集是∅， 当a>2时，原不等式的解集是{x|2<x<a}． 学科网（北京）股份有限公司 $$