2.2.1 不等式及其性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

2.2　不等式 2．2.1　不等式及其性质 [课标解读]1.不等式的概念.2.实数大小的比较.3.不等式(组)的解法.4.不等式的性质． 知识点一　不等式的定义 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 知识点二　实数大小比较 符号表示 a－b>0⇔a>b， a－b＝0⇔a＝b， a－b<0⇔a<b. 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等． 知识点三　不等式的性质 性质1(可加性)　如果a>b，那么a＋c>b＋c. 性质2(可乘性)　如果a>b，c>0，那么ac>bc. 性质3(可乘性)　如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质4(传递性)　如果a>b，b>c，那么a>c. 如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？ (1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c. (2)如果两个不等式都带有等号，那么有若a≥b且b≥c，则a≥c，其中a＝c时必有a＝b且b＝c. 推论1(移项法则)　如果a＋b>c，那么a>c－b. 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． 推论2(同向可加性)　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. 我们把a>b和c>d(或a<b和c<d)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式． (1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据． (2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特别注意的是，由a>b，c<d，不能得到a＋c>b＋d，但可以得到a－c>b－d.这是因为若c<d，则－c>－d，又a>b，所以a－c>b－d. 推论3(同向同正可乘性)　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 推论4(可乘方性)　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1). 推论5(可开方性)　如果a>b>0，那么>. 理解不等式的性质成立的前提以及是否具有可逆性是掌握性质的关键．例如： (1)推论3不但要求两个不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否则结论不一定成立； (2)除了性质1和推论1，其他性质及推论都不可逆． 知识点四　综合法、分析法与反证法 1．综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法． 2．分析法 从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后得到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明问题的方法通常称为分析法． 3．反证法 首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法． 综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法． (1)综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论． (2)分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2021·安徽省池州市期末考试)已知P＝a2＋4a＋1，Q＝－b2＋2b－4，则(　　) A．P>Q B．P<Q C．P≥Q D．P≤Q C　[P－Q＝a2＋b2＋4a－2b＋5＝(a＋2)2＋(b－1)2≥0， ∴P－Q≥0，即P≥Q，当且仅当a＝－2，b＝1时取等号．故选C.] 2．(多选)(2021·广西壮族自治区钦州市期中考试)对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则> AB　[若ac2>bc2，则a>b，A对， 由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a＋c>b＋d，B对， 令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，C错， 令a＝－1，b＝－2，则<，D错．故选AB.] 3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 A　[∵－1<β<1，∴－1<－β<1. 又∵－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2. 又∵α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A.] 4．(2021·浙江省其他类型)用不等号“<”或“>”填空： (1)如果a>b，c>0，则d＋ac__________d＋bc； (2)如果a>b，c<0，则c(d－a)__________c(d－b)； (3)如果a>b，d>e，c<0，则d－ac__________e－bc. 解析：　(1)∵a>b，c>0， ∴ac>bc， ∴d＋ac>d＋bc； (2)∵a>b， ∴－a<－b， ∴d－a<d－b， ∵c<0， ∴c(d－a)>c(d－b)； (3)∵a>b，c<0， ∴ac<bc， ∴－ac>－bc， ∵d>e， ∴d－ac>e－bc. 故答案为：>，>，>. 答案：　>　> 　> 5．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤， ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立． ②所以一个三角形中不能有两个直角． ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 其正确顺序为________． 解析：　用反证法证明命题的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，从而得到正确的命题．故填③①②. 答案：　③①② 题型一　比较大小 比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小． 点拨：　通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系． 解析：　因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2>0， 所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4). 用作差法比较两个实数大小的四步曲 注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 即时练1.(2021·全国单元测试)设x＝2a(a＋2)，y＝(a－1)(a＋3)，则有(　　) A．x>y B．x≥y C．x<y D．x≤y A　[设x＝2a(a＋2)，y＝(a－1)(a＋3)， 则x－y＝2a(a＋2)－(a－1)(a＋3) ＝a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>0， 所以x>y， 故答案为A.] 题型二　不等式的性质 对于实数a，b，c，有下列说法： ①若a>b，则ac<bc； ②若ac2>bc2，则a>b； ③若a<b<0，则a2>ab>b2； ④若c>a>b>0，则>； ⑤若a>b，>，则a>0，b<0. 其中正确的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 点拨：　→ C　[对于①，令c＝0，则有ac＝bc.①错． 对于②，由ac2>bc2，知c≠0，由c2>0⇒a>b.②对． 对于③，由a<b<0，两边同乘以a得a2>ab.两边同乘以b得ab>b2. ∴a2>ab>b2.③对． 对于④， ⇒0<c－a<c－b ⇒⇒>.④对． 对于⑤，⇒⇒a>0，b<0.⑤对． 故选C.] (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．　　 即时练2.(1)(2021·辽宁省沈阳市联考题)已知m<0<n，则下列说法中一定正确的是(　　) A．m2>n2 B．< C．mn>m2 D．< (2)(2021·广东省单元测试)下列说法正确的是(　　) A．若a>b，c>d，则a－c>b－d B．若ac>bc，则a>b C．若a>b>0，则a＋>b＋ D．若a，b∈R，则≥ab 解析：　(1)对于A，若m＝－1，n＝2，则m2＝1，n2＝4，此时m2<n2，故A错误； 对于B，由m<0<n，得<0<，故B正确； 对于C，由m<0<n，得m·m>0>m·n，即mn<m2，故C错误； 对于D，若m＝－4，n＝1，则＝＝2，＝1，此时>，故D错误；故答案为B. (2)对于A，令a＝8，b＝2，c＝7，d＝－1，此时a－c＝1，b－d＝3，显然a－c>b－d不成立； 对于B，当c<0时，a<b，显然a>b不成立； 对于C，因为a>b>0，∴a＋－b－＝(a－b)＋＝(a－b)(1＋)>0， ∴a＋>b＋，显然成立； 对于D，当a＝b＝－1时，显然≥ab不成立，故选C. 答案：　(1)B　(2)C 题型三　利用不等式性质求范围 已知－2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围： (1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b. 点拨：　运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向． 解析：　(1)|a|＝{|a||0≤|a|≤3}． (2)－1<a＋b<5. (3)依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1， 相加得－4<a－b≤2. (4)由－2<a≤3，得－4<2a≤6.　① 由1≤b<2，得－6<－3b≤－3.　② 由①＋②，得－10<2a－3b≤3. 利用不等式性质求范围的一般思路 (1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； (3)结合不等式的传递性进行求解．　　 即时练3.(2021·浙江省其他类型)已知1<a<4，2<b<8，试求a－b与的取值范围． 解析：　因为1<a<4，2<b<8， 所以－8<－b<－2. 所以1－8<a－b<4－2， 即－7<a－b<2. 又因为<<， 所以<<＝2，即<<2. 故a－b的取值范围为－7<a－b<2，的取值范围为<<2. 题型四　证明不等式 若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 点拨：　不等式的证明方法有很多，比较法(作差比较法或作商比较法)、综合法、分析法、反证法． 证明：　证法一　－ ＝ ＝ ＝. ∵a>b>0，c<d<0， ∴a＋b>0，c＋d<0，b－a<0，c－d<0. ∴(a＋b)－(c＋d)>0，(b－a)＋(c－d)<0. ∵e<0，∴e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]>0. 又(a－c)2(b－d)2>0，∴－>0， 即>. 证法二　＝. ∵c<d<0，∴－c>－d>0. ∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴(a－c)2>(b－d)2>0. ∴0<<1，∴0<<1. 又<0，∴>. 证法三　⇒a－c>b－d>0⇒ ⇒>. (1)简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证． (2)对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．　　 即时练4.(新课标全国卷Ⅱ节选)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：若ab>cd，则＋>＋. 证明：　由题设知ab>cd>0，则>. 又a＋b＝c＋d， 则(＋)2－(＋)2＝(a＋b＋2)－(c＋d＋2)＝2(－)>0，即(＋)2>(＋)2. 而＋>0，＋>0，故＋>＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$