1.1.1 集合及其表示方法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

1．1　集合 1．1.1　集合及其表示方法 [课标解读]1.集合的含义.2.元素与集合的关系.3.集合中元素的特性.4.集合的表示方法.5.区间的表示． 知识点一　集合与元素的相关概念 1．集合的概念 在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素． 集合通常用英文大写字母A，B，C，…表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，…表示． 集合的三个特性 (1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明． (2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体． (3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 2．元素与集合的关系 关系 语言表达 符合 读法 属于 a是集合A的元素 a∈A a属于A 不属于 a不是集合A的元素 a∉A a不属于A (1)a∈A与a∉A取决于a是不是集合A的元素．元素a与集合A的关系在a∈A与a∉A这两种情况中必有一种且只有一种成立． (2)符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系． 3．集合的分类 (1)一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅. (2)集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集． 4．集合相等 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B. 知识点二　集合中元素的三个特性 特性 含义 示例 确定性 集合的元素必须是确定的．这就是说，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来． 集合A＝{1，2，3}，则1∈A，4∉A. 互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．这就是说，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算作集合中的一个元素． 集合{x，x2－x}中的x应满足x≠x2－x，即x≠0且x≠2. 无序性 集合中的元素可以任意排列． 集合{1，0}和集合{0，1}是同一个集合． 元素特性的主要作用 (1)确定性的主要作用是判断一组对象能否组成集合，只有这组对象具有确定性时才能组成集合． (2)无序性的主要作用是方便定义集合相等．当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等． (3)互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(字母)时，一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性． 知识点三　几种常见的数集及其记法 集合 意义 记法 自然数集 所有非负整数组成的集合． N 正整数集 在自然数集N中，去掉元素0之后的集合． N＋或N* 整数集 所有整数组成的集合． Z 有理数集 所有有理数组成的集合． Q 实数集 所有实数组成的集合． R 常用数集之间的关系 知识点四　集合表示 1．自然语言 用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法应注意叙述清楚，如由所有正方形组成的集合，就是用自然语言表示的，不能叙述成“正方形”；再如由全体实数组成的集合，或实数集等． 2．列举法 把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，以此来表示集合的方法称为列举法． 列举法表示集合时的4个关注点 (1)元素与元素之间必须用“，”隔开； (2)列举法表示集合，要分清是数集还是点集； (3)列元素时要做到不重复，不遗漏； (4)集合中的元素可以是任何事物． 3．描述法 一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质P(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质P(x)称为集合A的一个特征性质，此时，集合A可以用它的特征性质P(x)表示为{x|P(x)}，这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法． 描述法表示集合时的3个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等； (2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等； (3)不能出现未被说明的字母． 知识点五　区间及其表示 1．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们作出规定： 定义 名称 符号 几何表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 这里的实数a，b分别称为区间的左、右端点，b－a称为区间的长度． 2．无穷大的概念 实数集R可表示为区间(－∞，＋∞)，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)，其定义、符号及几何表示如下表： 定义 符号 几何表示 {x|－∞<x<＋∞} (－∞，＋∞) {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) 1．下列语句能构成集合的是 (　　) A．大于2且小于8的实数全体 B．某班中性格开朗的男生全体 C．所有接近1的数的全体 D．某校高个子女生全体 A　[A.“大于2且小于8的实数全体”是确定的，能构成集合，∴该选项正确；B.“某班中性格开朗的男生全体”中，性格开朗是不确定的，不能构成集合，∴该选项错误；C.“所有接近1的数的全体”中，接近1的，是不确定的，不能构成集合，∴该选项错误；D.“某校高个子女生全体”中，高个子是不确定的，不能构成集合，∴该选项错误．故选A.] 2．(多选)下面四个说法中错误的是(　　) A．10 以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或 {3，2，1} C．方程x2－2x＋1＝0的所有解组成的集合是{1，－1} D．0与{0}表示同一个集合 CD　[10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A正确；由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B正确；方程x2－2x＋1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D错误．故答案选CD.] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．下列关系中正确的个数是(　　) ①∈Q　②∉R　③0∈N*　④π∈Z A．1 B．2 C．3 D．4 A　[是有理数，是实数，0不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确．故答案为A.] 4．用列举法表示集合 {x|0≤x<5，x∈N}＝________． 解析：　{x|0≤x<5，x∈N}＝{0，1，2，3，4}． 答案：　{0，1，2，3，4} 5．用区间表示下列集合： (1)＝________； (2){x|x<1或2<x≤3}＝________． 解析：　(1)注意包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应， 故＝. (2)注意集合中的“或”对应区间中的“∪”，故{x|x<1或2<x≤3}＝(－∞，1)∪(2，3]. 答案：　　(2)(－∞，1)∪(2，3] 题型一　集合的概念 (多选)下列每组对象，能构成集合的是(　　) A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．一切很大的数 D．清华大学2023年入学的全体学生 BD　[A.中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不能， C．一切很大的数，无法确定集合中的元素，故C不能， ∴根据集合元素的确定性可知，B，D都能构成集合，故选BD.] 即时练1.下列说法正确的是(　　) A．我校爱好足球的同学组成一个集合 B．{1，2，3}是不大于3的自然数组成的集合 C．集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一集合 D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素 C　[选项A，不满足确定性，故错误； 选项B，不大于3的自然数组成的集合是{0，1，2，3}，故错误； 选项C，由集合的无序性知，C正确； 选项D，数1，0，5，，，，组成的集合有5个元素，故错误．故选C.] 题型二　元素和集合的关系 用符号“∈”或“∉”填空： (1)设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B，1＋________B； (2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C，5________C； (3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)的集合，则－1________D，(－1，1)________D. 点拨：　确定元素是否在集合中，要根据元素是否满足代表元素所具有的属性来确定． 解析：　(1)∵2＝>，∴2∉B； ∵(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11，∴1＋<，∴1＋∈B. (2)∵n是正整数，∴任何一个n，都不能使n2＋1＝3，∴3∉C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C. (3)∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1是数， ∴－1∉D；又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D. 答案：　(1)∉　∈　(2)∉　∈　(3)∉　∈ 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性．即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．　　 即时练2.设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是(　　) A．(2，5) B．[2，5) C．(2，5] D．[2，5] C　[因为集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A， ∴3×1－1<m且3×2－1≥m；解得2<m≤5；故选C.] 题型三　集合的表达 用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合； (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图像上所有的点组成的集合． 点拨：　本例题要用一种适当方法表示集合，这就需要我们首先要弄清相应集合到底含有哪些元素，然后再确定用列举法或是描述法．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法． 解析：　(1)解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}． (3)方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}． (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图像上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}． 选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．　 即时练3.将不超过30的正整数分成A、B、C三个集合，分别表示可被3整除的数、被3除余1的数、被3除余2的数．请分别用两种方法表示集合A、B、C. 解析：　A＝{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30}＝{x|x＝3k，k∈N，1≤k≤10}， B＝{1，4，7，10，13，16，19，22，25，28}＝{x|x＝3k－2，k∈N，1≤k≤10}， C＝{2，5，8，11，14，17，20，23，26，29}＝{x|x＝3k－1，k∈N，1≤k≤10} 题型四　区间及其表示 用区间表示下列集合： (1){x|x≥1}＝________； (2)＝________； (3){x|x＝1或2≤x≤8}＝________． 点拨：　进行几何表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点． 解析：　(1){x|x≥1}＝[1，＋∞). (2)＝{x|x<－1或x≥2}＝(－∞，－1)∪[2，＋∞). (3){x|x＝1或2≤x≤8}＝{1}∪[2，8]. 答案：　(1)[1，＋∞)；(2)(－∞，－1)∪[2，＋∞)； (3){1}∪[2，8]. 理解区间概念的注意点 (1)一般地，区间的左端点的值小于右端点的值． (2)区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“，”隔开． (3)左、右端点a，b都能取到的叫闭区间；左、右端点a，b有一端能取到、另一端不能取到的叫半开半闭区间；左、右端点a，b都不能取到的叫开区间．　　 即时练4.将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1){x|x<2}； (2){x|x＝0或1≤x≤5}； (3){x|x＝3或4≤x≤8}； (4){x|2≤x≤8且x≠5}； (5){x|3<x<5}． 解析：　(1){x|x<2}用区间表示为(－∞，2)，数轴表示如图一； (2){x|x＝0或1≤x≤5}用区间表示为{0}∪[1，5]，数轴表示如图二； (3){x|x＝3或4≤x≤8}用区间表示为{3}∪[4，8]，数轴表示如图三； (4){x|2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，数轴表示如图四； (5){x|3<x<5}用区间表示为(3，5)，数轴表示如图五． 易错一　忽略集合元素的互异性 1．方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集为________． 正解：　x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为1，a. 因此，若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}． 答案：　{1}(当a＝1时)，或{1，a}(当a≠1时). [易错探因]　本题易错的地方是忽略元素互异性，没有考虑参数a的不确定性，从而得到错误的答案“方程的解集为{1，a}”． [误区警示]　当集合中元素含有参数时，求出参数的值后一定要代回检验，确保满足集合中元素的互异性． 易错二　忽略元素形式 2．集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}用列举法可表示为________． 正解：　x，y满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N， 则有所以A＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}． 答案：　{(0，6)，(1，5)，(2，2)} [易错探因]　本题易错的地方是忽略元素的形式，从而得到错误答案{0，6，1，5，2，2}． 学科网（北京）股份有限公司 $$