1.4.2 角平分线的性质定理的逆定理 课件 2023--2024学年湘教版八年级数学下册

第1章 直角三角形 1.4 角平分线的性质 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 问题1：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能得到什么命题，这个新命题正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE 几何语言： 猜想: 这个命题正确吗？ 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 证明猜想 角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 知识总结 例1 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. ∵点F在∠BCE的平分线上, FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 G H M A B C F E D 典例精析 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证一证 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是∠ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条内角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 结论：三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M M E N A B C P O D 例2：如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和. (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 典例精析 解：(1) 过O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为N，E. (2) 连接OC 练1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 小区C P A O B M N 练2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 课堂小结 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的内角平分线相交于内部一点 课堂作业 ：已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN. 课本26页第五题 $$