8.4 三元一次方程组的解法课件2023-2024学年人教版数学七年级下册

8.4 三元一次方程组的解法 1 1. 了解三元一次方程组的概念. 2. 能解简单的三元一次方程组,在解的过程中进一步体会“消元”思想. 学习目标 2 1.解二元一次方程组有哪几种方法? 2.解二元一次方程组的基本思路是什么? 二元一次方程组 代入 加减 消元 一元一次方程 化二元为一元 化归、转化思想 代入消元法和加减消元法 消元法 旧知回顾 实际上,有不少问题 含有更多的未知数 3 探究新知 小明手头有 12张面额分别为1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张. 问题1.这个问题中含有_个相等关系. 1元纸币的数量+2元纸币的数量+5元纸币的数量=12张 1元纸币的总金额+2元纸币的总金额+5元纸币的总金额=22元 1 元纸币的数量=2 元纸币的数量 4 3 4 探究新知 小明手头有 12张面额分别为1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张. 解:设 1 元、2 元和 5 元的纸币分别为 x 张、y 张和 z 张,根据题意,可以得到下面三个方程: x+y+z=12 ① x=4y ② 10x+20y+50z=220 ③ 观察方程①、③你能得出什么? 都含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做三元一次方程. 5 探究新知 这个问题的解必须同时满足上面三个条件,因此,我们把这三个方程合在一起,写成 问题2.这个方程组有什么特点? ①含三个未知数;②每个方程中含未知数的项的次数都是1; ③有三个方程. 6 探究新知 这个方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组. 归纳 例1 判断下列方程组是否是三元一次方程组. √ 总结:组成三元一次方程组的三个一次方程中一共含有三个未知数即可. 7 探究新知 三元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个三元一次方程组的解. 问题3.怎样求三元一次方程组 的解? 解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样. 提示:二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程求解. 8 探究新知 ① ③ ② 仿照前面学过的代入法,可以把③分别代入①②,得到两个只含 y,z 的方程: 4y+y+z=12, 4y+2y+5z=22. 得到二元一次方程组后,再根据之前学习的方法解方程组即可. 9 探究新知 三元一次方程组 解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”转化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程. 消元 消元 一元一次方程 二元一次方程组 归纳 10 典例精讲 例2 解三元一次方程组 ① ③ ② 分析:方程①只含 x,z,因此,可以由②③消去 y,得到一个只含 x,z的方程,与方程①组成一个二元一次方程组. 11 典例精讲 例2 解三元一次方程组 ① ③ ② 解:② 3,得 6x+9y+3z=27. ④ ④与⑤组成方程组 ③+④,得11x+10z=35. ⑤ 解这个方程组,得 把 x=5,z=-2 代入②,得 2 5+3y-2=9, 解得 y= . 因此,这个三元一次 方程组的解为 你还有其他解法吗? 12 典例精讲 例2 解三元一次方程组 ① ③ ② 变形 代入 消去 x 关于 y,z 的二元一次方程组 方程①中每个未知数的系数的绝对值都不是 1,将其变形,用代入法解比较繁琐 13 典例精讲 例3.解下列三元一次方程组: 解析:观察各个方程的特点,可以考虑用代入法求解,将①分别代入②和③中,消去z可得到关于x、y的二元一次方程组. 14 典例精讲 解: 将①代入②、③,消去z,得 解这个方程组,得 把x=2,y=3代入①,得z=5. 所以原方程组的解为 15 典例精讲 例4 在等式 y=ax2+bx+c 中,当 x=-1 时,y=0;当 x=2 时,y=3;当 x=5 时,y=60.求 a,b,c 的值. 分析:把 a,b,c 看作三个未知数,分别把已知的 x,y 值代入原等式,就可以得到一个三元一次方程组. 解:根据题意,得三元一次方程组 ① ③ ② 16 典例精讲 ②-①,得 a+b=1; ④ ③-①,得 4a+b=10. ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组,得 把 代入①,得 c=-5. 因此 即 a,b,c 的值分别为 3,-2,-5. 17 消元法解三元一次方程组的两点注意 (1)确定消去哪个未知数时,要从整体考虑,一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数. (2)消去的未知数一定是同一个未知数,否则就达不到消元的目的. 归纳 18 当堂练习(见课本106页