2024年中考数学二轮综合压轴题 练习

2024中考数学综合压轴题 1．已知关于的二次函数． （1）写出函数图象一定经过的两个定点的坐标． （2）若二次函数图象的顶点在第二象限，求的取值范围． （3）若当时，随着的增大而减小，求的取值范围． 2．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 　　； （2）如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，判断的形状并说明理由． （3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，正方形的边长为，点是边的中点，点是线段上的动点，并以的速度从点向点移动；点是对角线上的动点，以的速度从点向点移动，以为边，向上作正方形．点、同时移动，移动时间为秒． （1）当为为何值时，点在的平分线上？ （2）正方形移动时边与边交于点，是否存在某一时刻，使四边形的面积为？ （3）当为何值时，点在边的延长线上？ 4．正在建设的北京环球影城主题乐园是世界第五个环球影城．乐园中既有功夫熊猫、小黄人乐园等小朋友喜欢的景区，又有过山车等深受年轻游客喜爱的游乐设施．过山车虽然惊悚恐怖，但是安全保障措施非常到位．如图所示，为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）在轨道距离地面5米处有两个位置和，当过山车运动到处时，平行于地面向前运动了米至点，又进入下坡段接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在到的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？ （3）现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架、、、，且要求．已知这种材料的价格是8000元米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？ 5．综合与实践 问题情境： 综合实践课上，老师出示如下题目：如图1，和是等边三角形，点是上一点，点是延长线上一点，．连接，，交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考： （1）请你解决老师提出的问题． 拓展探究： （2）在图1的基础上，“睿智小组”提出了新的问题：如图2，连接，试判断的形状，并说明理由；请你解决此问题． （3）在图2的基础上，“奋进小组”提出了新的问题：延长，交于点，得到图3，他们认为：．请你利用图3判断他们的说法是否正确，并说明理由． 6．如图，已知是的直径，弦于点，点是线段延长线上的一点，连结交于点，连结交于点，连结，，． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）在（2）的条件下，设，． ①求关于的函数表达式； ②若为的中点，求的值． 7．阅读资料： 如图1，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，，，由勾股定理得，所以，两点间的距离为． 我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系中， 为圆上任意一点，则点到原点的距离的平方为，当的半径为时，的方程可写为：． 问题拓展： 如果圆心坐标为 ，半径为，那么的方程可以写为　 　． 综合应用： 如图3，与轴相切于原点，点坐标为，是上一点，连接，使，作，垂足为，延长交轴于点，连接． ①证明是的切线； ②是否存在到四点，，，距离都相等的点？若存在，求点坐标，并写出以点为圆心，长为半径的的方程；若不存在，说明理由． 8．在一堂“折纸与数学”的实践探究课上，每个小组分到若干张纸进行折纸． 下面给出了“遥遥领先”小组利用半张纸（矩形的长：宽折特殊三角形的方法，我们一起来探究其中的数学原理． （1）折法一：如图1，将矩形的顶点与边上的任意一点重合对折，折痕为．求证：是等腰三角形． （2）在折法一的条件下，若是的中点，求的值． （3）折法二：如图2，先折出一个正方形，折痕为，再将点折到上并让折痕过点，折痕为，点的对应点为点．求证：． 9．有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线的水平跨度，顶点的高度为，建立如图所示平面直角坐标系．现计划给该墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框（点，在抛物线上，边在地面上），针对窗框的安装设计师给出了两种设计方案如图： 方案一：在门框的两边加装两个矩形窗框（点，在抛物线上），； 方案二：在门框的上方加装一个矩形的窗框（点，在抛物线上），． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若要求门框的高度为，判断哪种方案透光面积（窗框和门框的面积和）较大？（窗框与门框的宽度忽略不计） 10．问题提出 （1）如图①，在中，，，，是边的中点，以点为圆心，长为半径作，是上一点，则线段的最小值为 　　． （2）如图②，在中，，，，若平分的面积，且最短，请