8.2立体图形的直观图(第1课时)课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图 第1课时 前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特点立体结构.为了将这些具有立体结构的空间几何体画在纸上,用平面图形表示出来,使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构,这就需要学习直观图的有关知识. 那么什么是直观图呢? 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 画立体图形的直观图,实际上是把不完全在同一平面内的点的集合,用同一平面内的点表示. 因此,直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中,立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. 要画立体图形的直观图,首先要学会画水平放置的平面图形.接下来,我们就来学习这方面的知识. 引入 知识探究 问题1: 在初中,我们已经学习过投影的知识,你还能想起哪一些? 投影 平行投影 (光线平行) 中心投影 (光线从一点发出) 斜投影 (光线与投影面不垂直) 正投影 (光线与投影面垂直) 空间几何体在平行投影与中心投影下都有不同的表现形式,我们常常会根据问题的实际情况,选择不同的表现形式,其中用中心投影可以得到透视图,用正投影可以得到三视图,而用斜投影则可以得到直观图。 问题2: 如图,矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?眺望远处成块的农田,矩形的农田在我们眼里又是什么形状? 事实上,若一个矩形垂直于投影面,投影线不垂直于投影面,则矩形的平行投影是一个平行四边形。 平行四边形 平行四边形 由此,我们可以得到直观图的斜二测画法。 斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤 ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O. 画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45 (或135 ),它们确定的平面表示水平面. A B C D y x O y′ x′ O′ ②已知图形中平行(含重合)于 x轴或y 轴的线段,在直观图中分别画成平行(含重合)于x' 轴或y '轴的线段 A B C D y x O y′ x′ O′ D′ C′ B′ A′ 已知图形中平行(含重合)于x 轴的线段, 在直观图中保持原长度不变; 平行(含重合)于y 轴的线段,在直观图中长度为原来的一半. 问题3: 如果原图中有不平行坐标轴的线段,怎么处理? 与坐标轴不平行的线段一般通过与坐标轴平行的线段(必要时需作出)确定它的两个端点,然后连接成线段. ③连接端点,去线成图 问题3: 你能再说说用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的基本原则吗? (2)平行的变化:平行性不变. 原来平行的线,在直观图中仍然平行,其中原图中平行(含重合)于x 轴或y 轴的线段,在直观图中平行 (含重合) 于x′ 轴或y′ 轴. 斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的基本原则 (1)角度的变化:水平面坐标系中∠x′o′y′=45 (或135 ). (3)长度的变化: 原图中平行于(含重合)x轴的线段,在直观图中长度不变; 原图中平行于(含重合)y轴的线段,在直观图中长度减半. 返回 例析 例1.用斜二测画法画出下列正六边形水平放置的直观图 建立坐标系 作与坐标轴平行的线段 例1.用斜二测画法画出下列正六边形水平放置的直观图 连接端点,去线成图 例1.用斜二测画法画出下列正六边形水平放置的直观图 例2.用斜二测画法画出AB=2,BC=6,∠BCD=60 的平等四边形ABCD水平放置的直观图 解: 在原图中以B为原点,直线BC为x轴建立如图所示的直角坐标系xoy. 并建立水平坐标系xoy,并使∠xoy=45 在坐标系xoy中作O′C′=6, 即B′C′=6. 在原图中作AH BC于H,则 在B′C′上取点H′使B′H′=2, 在坐标系xoy中作A′D′//y′, 且A′D′=6 连接B′A′,C′D′,则四边形A′B′C′D′为所需作的直观图 思考2: 在利用斜二测画法画直观图的过程中,x,y 轴起到的作用是什么? 根据经验,水平放置的圆看起来非常像椭圆,因此我们一般用椭圆作为圆的直观图. 因此我们一般用椭圆作为圆的直观图. 实际画图时常用如图所示的椭圆模板 思考1: 根据以上的内容,说说你对斜二测画法中的“ 斜二 ”二字是如何理解的? 从左前侧(或右前侧)并斜向下向几何图形进行投影 思考3: 画直观图时,除多边形外,还经常会遇见画圆的直观图问题,你能想象出对于水平放置的圆,利用斜二测画法画出的直观图是怎样的吗? 在作图过程中,x, y 轴主要起参考系的作用,以便确定各点的准确位置. 练习 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论是 否正确?正确的在括号内画“√”,错误的画“ ”. (1)相等的线段在直观图中仍然相等. ( ) (2)平行的线段在直观图中仍然平行. ( )