2024年中考数学（北师大版）二轮复习专题特训课件：解直角三角形的四种应用类型

专题特训　解直角三角形的四种应用类型 类型一　仰角、俯角（测高）问题 1. （2023·新疆生产建设兵团）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，据史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”.克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内建成时间最早、保存最完好的古代烽燧.某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图，无人机飞至距地面高度为31.5米的点A处，测得烽燧BC的顶部点C的俯角为50°，测得烽燧BC的底部点B的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）. 1 2 3 4 5 （第1题） 解：如图，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，则易得四边形 ADBE为矩形.∴ BE＝AD＝31.5米.在Rt△ABE中，BE＝31.5米， ∠AEB＝90°，∠BAE＝65°，tan∠BAE＝，∴ AE＝≈＝15（米）.在Rt△ACE中，∠CAE＝50°，tan∠CAE＝， ∴ CE＝AE·tan∠CAE＝15·tan50°≈15×1.2＝18（米）. ∴ BC＝BE－CE＝31.5－18＝13.5（米）. ∴ 烽燧BC的高度约为13.5米. （第1题答案） （第1题答案） 1 2 3 4 5 类型二　方向角（定位）问题 2. （2022·青岛）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°方向的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米.当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E处时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从点C处航行到点D处的距离 （参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77， tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）. （第2题） 1 2 3 4 5 解：过点C作CF⊥DE于点F.由题意，得∠ABC＝90°，∠D＝40°，∠ACB＝68°，CB＝AE＝200米. ∴ 在Rt△ABC中，AB＝CB·tan∠ACB≈200×2.48＝496（米）. ∴ BE＝AB－AE＝496－200＝296（米）.∵ 易得四边形FEBC为矩形，∴ CF＝BE＝296米.∴ 在Rt△CDF中，CD＝≈＝462.5（米）. ∴ 观光船从点C处航行到点D处的距离为462.5米. 1 2 3 4 5 （第2题） 3. （2023·包头）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野活动.如图，A为出发点，途中设置两个检查点B，C，行进路线为A→B→C→A.点B在点A的南偏东25°方向3km处，点C在点A的北偏东80°方向上，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°. （1） 求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数. 解：（1） 由题意，得∠NAC＝80°，∠BAS＝25°， ∴ ∠CAB＝180°－∠NAC－∠BAS＝75°.∵ ∠ABC＝45°，∴ ∠BCA＝180°－∠CAB－∠ABC＝60°. ∴ 行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°. （第3题） 1 2 3 4 5 （2） 求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）. 解：（2） 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.在Rt△ABD中，AB＝3km，∠ABC＝45°， ∴ AD＝AB·sin45°＝3×＝3（km）， BD＝AB·cos45°＝3×＝3（km）.在Rt△ADC中， ∠BCA＝60°，∴ CD＝＝＝（km）. ∴ BC＝BD＋CD＝（3＋）km. ∴ 检查点B和C之间的距离为（3＋）km. （第3题答案） （第3题答案） 1 2 3 4 5 类型三　坡度、坡角（坡坝）问题 4. 如图，某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶端点C的仰角为53°，斜坡AB的坡度为，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼CD的高度（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）. （第4题） 1 2 3 4 5 解：过点B作BE⊥AD于点D，BF⊥CD于点F.∴ ∠BEA＝∠BFC＝90°.由题意，得AB＝52米，∠CBF＝53°，AD＝72米.∵ 斜坡AB的坡度为，∴ 可设BE＝5x米，则AE＝12x米.在Rt△ABE中，BE2＋AE2＝AB2， ∴ （5x）2＋（12x）2＝522.∴ x＝4.∴ BE＝20米，AE＝48米. ∴ DE＝AD－AE＝72－48＝24（米）.∵ 易得四边形BEDF为矩形， ∴ BF＝DE＝2