2024年中考数学（北师大版）二轮复习高频考点突破课件：直角三角形的边角关系

第一章　直角三角形的边角关系 考点一　与锐角三角函数有关的计算 典例1　（2023·济宁）如图①，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上.若∠DAE＝30°，tan∠EAC＝，则BD＝ 　　　　⁠. (典例1图) 思路导引　过点A作AH⊥BC于点H，根据等边三角形三线合一的性质及已知条件，得到∠DAH＝∠EAC，即把已知三角函数值的角转移到直角三角形中，从而解决问题. 规范解答　如图②，过点A作AH⊥BC于点H.∵ △ABC是等边三角形， ∴ AB＝BC＝6，∠BAC＝∠B＝60°.∵ AH⊥BC，∴ ∠BAH＝∠BAC＝30°. ∴ ∠BAD＋∠DAH＝30°.∵ ∠DAE＝30°， ∴ ∠BAD＋∠EAC＝∠BAC－∠DAE＝60°－30°＝30°. ∴ ∠DAH＝∠EAC. ∴ tan∠DAH＝tan∠EAC＝.∵ BH＝AB＝3，AH＝AB·sinB＝6×＝3， ∴ tan∠DAH＝＝＝.∴ DH＝.∴ BD＝BH－DH＝3－. 故填3－ 1.（2023·衡阳模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°， ∠ADB＝∠ABC＝105°. （1） 若AD＝2，求AB的长. 解：（1） 过点D作DE⊥AB于点E， 则∠AED＝∠BED＝90°.在Rt△ADE中，∠A＝45°，∴ ∠ADE＝45°，DE＝AD·sinA＝2×＝，AE＝AD·cosA＝2×＝.在Rt△BDE中，∠BDE＝∠ADB－∠ADE＝105°－45°＝60°， ∴ BE＝DE·tan∠BDE＝×＝.∴ AB＝AE＋BE＝＋. （第1题） 1 2 （2） 若AB＋CD＝2＋2，求AB的长. 解：（2） 过点B作BF⊥CD于点F，设DE的长为x. 由（1），可知∠ABD＝90°－∠EDB＝90°－60°＝30°. ∴ ∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝105°－30°＝75°，AE＝＝x， BE＝＝x，BD＝＝2x.∴ AB＝（＋1）x.∵ ∠C＝45°，BF⊥CD，∴ ∠FBC＝90°－45°＝45°.∴ ∠DBF＝∠DBC－∠CBF＝30°. ∴ DF＝BD·sin∠DBF＝x，BF＝BD·cos∠DBF＝x. ∴ 易得CF＝BF＝x.∴ CD＝（＋1）x. ∴ AB＋CD＝（2＋2）x＝2＋2.∴ x＝1.∴ AB＝＋1. （第1题） 1 2 考点二　锐角三角函数的实际应用 典例2　（2023·烟台）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为30°的坡地上新安装了一架风力发电机.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，如图①所示为测量示意图.斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端点P的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得点P的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）. （典例2图） 1 2 思路导引　延长PD交直线AC于点F，延长DP交BE于点G，构造三个直角三角形，将问题转化为解直角三角形的问题来解决. 1 2 规范解答　如图②，延长PD交直线AC于点F，延长DP交BE于点G. 由题意，得PF⊥AF，DG⊥BE，AB＝FG＝53米，AF＝BG. 设AF＝BG＝x米. 在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16米， ∴ DF＝CD＝8米.在Rt△PAF中，∠PAF＝45°， ∴ PF＝AF·tan∠PAF＝x米.在Rt△BPG中，∠GBP＝18°， ∴ GP＝BG·tan∠GBP≈0.325x米. ∴ FG＝PF＋PG＝x＋0.325x＝1.325x（米）. ∵ FG＝53米， ∴ 1.325x＝53，解得x＝40. ∴ PF＝40米. ∴ PD＝PF－DF＝40－8＝32（米）. ∴ 该风力发电机塔杆PD的高度约为32米. 1 2 方法归纳 锐角三角函数的实际应用技巧 　　根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线来构造直角三角形，并利用锐角三角函数或线段间的等量关系列方程是解题的关键. 1 2 2. （2023·潍坊期末）如图，某物业楼上竖立的一块广告牌CD高为3m，小亮和小伟要测量广告牌底部点D到水平地面的距离DH的长，小亮在水平地面上的点A处放置测倾器，测得广告牌底部点D的仰角为22°，小伟在水平地面上的点B处放置测倾器，测得广告牌顶部点C的仰角为45°，两人合作测得测倾器的高度AE＝BF＝1.2m，点A和点B之间的距离AB＝9m.请根据以上信息，求广告牌底部点D到水平地面的距离DH（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）. 1 2 解：如图，延长EF交CH于点G，则FG⊥CH