2024年中考数学（北师大版）二轮复习专题特训课件：相似三角形判定的常考模型

4　探索三角形相似的条件 专题特训　相似三角形判定的常考模型 类型一　平行线（A，X）型 模型示例：主要有两种类型：A型（如图①）和X型（如图②），其中X型也可归于旋转型. 　 1. 如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则图中的相似三角形共有（　C　） A. 3对 B. 5对 C. 6对 D. 8对 （第1题） C 2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，CE与BD相交于点F.设DE＝x，BF＝y，当0≤x≤8时，y关于x的函数表达式为 　y＝　⁠.  （第2题） y＝　 3. 三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫做三角形的重心.如图，点G是△ABC的重心.求证：AD＝3DG. （第3题） 解：连接DE.∵ 点G是△ABC的重心， ∴ E，D分别是AB，BC的中点.∴ DE是△ABC的中位线. ∴ DE∥AC，DE＝AC.∴ 易得△DEG∽△ACG. ∴ ＝. ∴ ＝.∴ ＝. ∴ AD＝3DG. 类型二　翻折（相交线、母子）型 模型示例：主要包含相交线型（含有公共角或对顶角），如图①所示；母子型（相交线的特殊情形），如图②所示. 　 　 ① ② 4. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠ADE＝∠C.若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （第4题） C 5. （2022·泰安）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F. （1） 若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC. 解：（1） 如图，∵ 在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°， ∴ ∠2＝∠3＝∠4，∠3＋∠5＝90°. ∵ DE＝BE，∴ ∠1＝∠2.∵ BE平分∠CBD， ∴ ∠1＝∠6.∴ ∠3＝∠6. ∴ ∠OFB＝∠6＋∠5＝∠3＋∠5＝90°.∴ BF⊥AC. （2） 找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由. 解：（2） 与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF.　 理由：由（1），可得∠1＝∠4. ∵ ∠AFB＝∠BFO， ∴ △BAF∽△OBF.由（1），可得∠1＝∠3. ∵ ∠EFC＝∠OFB，∴ △ECF∽△OBF. （3） 若OF＝3，EF＝2，求DE的长. 解：（3） 由（2），得△ECF∽△OBF.∴ ＝. ∵ OF＝3，EF＝2，∴ ＝.∴ 3CF＝2BF ①.由（2），得△BAF∽△OBF.∴ ＝. ∴ BF2＝OF·AF.∴ BF2＝3（OA＋3） ②.∵ 在矩形ABCD中，OA＝OC＝OF＋CF， ∴ OA＝3＋CF③.联立①②③，可得BF＝1＋（负值已舍去）. ∴ DE＝BE＝EF＋BF＝2＋1＋＝3＋. 类型三　一线三等（直）角型 模型示例：如图①所示为一线三等角型，如图②所示为一线三直角型（一线三等角的特殊类型）. ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ① 　 　 ② 6. 如图，折叠矩形ABCD，使点D落在边BC上的点F处. （1） 求证：△ABF∽△FCE. 解：（1） ∵ 四边形ABCD为矩形， ∴ ∠B＝∠C＝∠D＝90°. ∴ ∠BAF＋∠AFB＝90°.由折叠，得∠AFE＝∠D＝90°. ∴ ∠AFB＋∠CFE＝90°. ∴ ∠BAF＝∠CFE. ∴ △ABF∽△FCE. （第6题） （2） 若CD＝8，CF＝4，求矩形ABCD的面积. 解：（2） 由折叠，得AF＝AD，DE＝EF. ∵ 四边形ABCD为矩形， ∴ AB＝CD＝8.设DE＝EF＝x，则CE＝CD－DE＝8－x. 在Rt△EFC中，EF2＝CE2＋CF2，即x2＝（8－x）2＋42，解得x＝5. ∴ DE＝EF＝5.由（1），得△ABF∽△FCE.∴ ＝，即＝. ∴ AF＝10.∴ AD＝AF＝10. ∴ S矩形ABCD＝AD·CD＝80. （第6题） 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，P，D分别是边BC，AC上的点，且∠APD＝∠B. （1） 求证：AC·CD＝PC·BP. 解：（1） ∵ ∠APC＝∠APD＋∠DPC＝∠PAB ＋ ∠B， ∠APD＝∠B，∴ ∠PAB＝∠DPC. ∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C. ∴ △ABP∽△PCD.∴ ＝. ∴ ＝.∴ AC·CD＝PC·BP. （第7题） （2） 若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长. 解：（2） ∵ PD∥AB，∴ ∠DPC＝∠B.由（1）， 得∠PAB＝∠DPC，∠B＝∠C.∴ ∠PAB＝∠C. ∵ ∠B＝∠B， ∴ △PBA∽△ABC.∴ ＝.∴ BP＝. ∵ AB＝10，BC＝12，∴ BP＝＝. （第7题） 8. （2022·永城模拟改编）如图，在△ABC中，∠BAC＝