串讲07 概率与统计（考点串讲）（10大考点）-【中职专用】高二数学期末复习大串讲（人教版2021·拓展模块一）

串讲07 概率与统计 1、 知识网络 二、常考题型 三、知识梳理 1.计数原理 （1）分类加法计数原理 概念：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 特征：①任何一类方案都能完成这件事；②各类方案之间相互独立；③分类要做到“不重不漏” （2）分步乘法计数原理 概念：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事共有种不同的方法 特征：①任何一步都不能单独完成这件事；②各步之间相互依存；③分步要做到“步骤完整” 2.排列 （1）排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 （2）排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示 （3）排列数公式：（，且） 3.组合 （1）组合：一般地，从个不同的元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 （2）组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示 （3）组合数公式：（，且） （4）组合数的性质：（1）；（2） 4.二项式定理 （1）二项式定理 概念：一般地，对于任意的正整数， 都有. 这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为的二项展开式，的二项展开式共有项，其中各项的系数叫做二项式系数，称为二项展开式的第项，又称为二项展开式的通项 （2）二项展开式的特征： ①二项展开式共有项； ②二项式系数依次为组合数； ③各项次数都等于二项式的幂指数； ④字母的指数由开始按降幂排列到0，的指数由0开始按升幂排列到 （3）二项式系数与项的系数的区别：二项式系数为项的系数指该项中除字母外的部分 （4）二项式系数的性质 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 增减性：当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的 最大值：当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值 （5）二项式系数和： ①二项展开式中各二项式系数之和为； ②在二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于. 5.离散型随机变量 （1）离散型随机变量的定义 如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。 （2）离散型随机变量的分布列 设离散型随机变量所有可能取得的值为x1,x2,…,x3,…xn,若取每一个值xi(i=1,2,…，n)的概率为，则称表 x1 x2 … xi … xn P P1 P2 … Pi … Pn 为随机变量的概率分布，简称的分布列. 该分布列具有如下性质： ①Pi≥0,i=1,2，…，n； ②P1+P2+…+Pn=1 （3）离散型随机变量的分布列的求法 ①要确定随机变量的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义； ②分清概率类型，计算取得每一个值时的概率； ③列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证. 6.二项分布 （1）二项分布的定义 在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是 ，（）． 于是得到离散型随机变量的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P … … 由于表中第二行恰好是二项展开式 中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作． （2）如何求有关的二项分布 ①分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，即确定k的值； ②准确算出每一种情况下，某事件A发生的概率； ③用表格形式列出随机变量的分布列. 7.正态分布 （1）正态变量的概率密度函数 正态变量的概率密度函数表达式为：，（） 其中x是随机变量的取值；μ为正态变量的期望；是正态变量的标准差. （2）正态分布 ①正态分布的定义 如果对于任何实数随机变量满足：，则称随机变量服从正态分布，记为. ②正态分布的期望与方差 若，则的期望与方差分别为：，. （3）正态曲线 如果随机变量X的概率密度函数为，其中实数和为参数（），则称函数的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. （4）正态曲线的性质 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在时达到峰值； ④