第八章 成对数据的统计分析（章末小结）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

章末小结 选修第三册 第八章《成对数据的统计分析》 1 知识网络 知识梳理——1.两个变量的相关关系 知识梳理——3.经验回归方程 知识梳理——4.刻画回归效果的方式 知识梳理——5.分类变量的关联关系 知识梳理——6.卡方独立性检验 知识梳理——6.卡方独立性检验 基于小概率值α的检验规则： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立． 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 方法归纳——1.求线性回归方程的一般步骤 方法归纳——2.建立回归模型的一般步骤 方法归纳——3.非线性回归问题的处理方法 (1)指数函数型y＝ebx＋a ①函数y＝ebx＋a的图象如图所示： ②处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 方法归纳——3.非线性回归问题的处理方法 (2)对数函数型y＝bln x＋a ①函数y＝bln x＋a的图象如图所示： ②处理方法：设x'＝ln x，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b. (3)y＝bx2＋a型 处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 方法归纳——4.独立性检验的大致步骤 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较； (3)根据检验规则得出推断结论； (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． END 两个变量的 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度. ①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势； ②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势. ①线性相关：两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近； ②非线性相关或曲线相关：两个变量具有相关性，但不是线性相关． 刻画：成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，构成散点图 一元线性 回归模型 称为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，若e＝0，则Y与x之间的关系可用一元线性函数模型来描述． 经验回归 方程 Y关于x的经验回归方程(函数/公式)：＝x＋，其图形称为经验回归直线， 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计. ， 经验回归方程一定过样本点 中心(，)． 经验回归直线不一定经过 样本点(xi，yi) 刻画回归效果的方式 残差 残差图法 残差图中，残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平带状区域中，说明 选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高 残差 平方和法 残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好． R2刻画拟合效果 R2＝1－，R2越大，模型的拟合效果越好． 两个分类变量的 关联关系 列联表 分类变量X，Y 的2×2列联表 与或与相差越大，两个分类变量有关联的可能性越大 (卡方) 独立性检验 利用χ2＝的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法 几个常用的小概率值和 相应的临界值 等高 堆积 条形图 下方同一颜色区域的两个高度相差比较明显时， 可以判断两个分类变量之间有关联性 χ2＝也可以用来作相关性的变量，χ2越小说明变量之间越独立，χ2越大说明变量之间越相关．忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准． 求线性回归方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)(数据一般由题目给出)． (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系． (3)计算有关数据． (4)代入公式计算，． (5)写出经验回归方程＝x＋. 注：用公式计算，的值时，一般要先计算，然后才能算出. (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量； (2)画出确定好的解释变量和响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系)； (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程＝x