第二十一章 《一元二次方程》 复习课件 2023-2024学年人教版九年级数学上册

一元二次方程复习课（二） 内容： 一、一元二次方程根的判别式 二、一元二次方程根与系数的关系 三、二次三项式的因式分解 一元二次方程根的判别式 两不相等实根 两相等实根 无实根 一元二次方程 一元二次方程 根的判式是: 判别式的情况 根的情况 定理与逆定理 两个不相等实根 两个相等实根 无实根(无解) 一、 例1：不解方程，判别下列方程的根的情况 （1） （3） （2） 解：（1） = 判别式的应用: 所以，原方程有两个不相等的实根。 说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△，然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情况，得出结论。 例1、不解方程，判别方程的根的情况 例2、已知m为非负整数，且关于x的方程 ： 有两个实数根，求m的值。 解：∵方程有两个实数根 ∴ 解得： ∵m为非负数 ∴m=0或m=1 说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取值范围. 例3、求证：关于x的方程： 有两个不相等的实根。 证明： 所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。 无论m取任何实数都有： 即：△>0 说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出△，如果不能直接判断△情况，就利用配方法把△配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断△的情况，从而证明出方程根的情况 练习：1、不解方程，判别下列方程的根的情况 （1） （3） （2） 2、已知关于x 的方程： 有两个 不相等的实数根，k为实数，求k 的取值范围。 3、设关于x 的方程： ，证明，不论m 为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。 二、一元二次方程根与系数的关系 以两个数x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是 设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表 x1 · x2 x1 + x2 一元二次方程 5 6 解：设方程的另一个根为x1，那么 例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（1）平方和；（2）倒数和 解：设方程的两个根是x1 x2，那么 例3 已知方程x2-5x-2=0，作一个新方程， 使它的根分别是已知方程各根平方的倒数 解：设x1、x2为方程x2-5x-2=0的两根，则 x1+x2=5 x1x2=-2 设所求方程两根为y1、y2则： 例4 .已知方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值． 解：设x1、x2为方程的两根∵方程有两个实数根， 解得m≤0． 依题意，得 ∵m≤0， 　　∴m＝－1． (x12+x22)-x1x2=21 例5. 试确定m的值，使关于x的方程8x2－(2m2＋m－6)x＋2m－1＝0的两根互为相反数． 解：设此方程的两个根为x1、x2,要使方程的两个根互为相反数,必需满足条件: Δ x1＋x2＝0, x1x2≤0． 0, 得2m2＋m－6＝0 ∴当m＝－2时，原方程的两根互为相反数． 1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？ 2、已知方程 的一个根是 1， 求它的另一个根和m的值。 3、设 x1 、 x2是方程 利用 根与系数的 关系，求下列各式的值： 练习 $$