《统计基础知识》考前概念梳理与常考题选讲 专题七 平均指标与标志变异指标

《统计基础知识》考前概念梳理与常考题选讲 专题七 平均指标与标志变异指标 一、考纲要求 （1）了解变量分布的两种特征。 （2）理解平均指标的含义、实质和它们的种类。 （3）正确计算并运用算术平均数和调和平均数。 （4）理解标志变异指标的意义、作用。 （5）掌握极差、标准差（方差）、标准差系数的概念及计算方法，会用它们对实际问题进行分析、计算. 二、知识梳理 【考点知识梳理】 考点一 集中趋势代表值——平均指标 总体变量分布有两种特征即集中趋势和离中趋势。 集中趋势：是指大量变量值向某一点集中的情况，从而反映出该变量分布状况的综合数量特征。 集中趋势代表值：反映同质总体中各单位的某种变量值分布集中趋势的中心值。 平均指标：是指在现象的同质总体中，把某一数量标志在总体各单位间的差异抽象化，表明其一般水平的综合指标。 平均指标的种类：算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数等。 一、算术平均数 1.含义 总体各单位标志值之和除以总体单位数所得的商，是统计中最常用的、最基本的一种表示集中趋势的代表值。 2.公式 算术平均数=总体标志总量/总体单位总量。 3.分类 （1）简单算术平均数 ①概念：将总体各单位的标志值相加除以总体单位数求得。 ②公式： ③适用范围：适用于未分组资料。 （2）加权算术平均数。 ①概念：在总体经过分组形成变量数列，有变量值和次数的情况下，将各组变量值分别与其次数相乘后加总求得标志总量，再除以总体单位数而求得。 ②公式： ③适用范围：适用于分组资料，即变量数列资料。 注意：当f1=f2=f3=…=fn=k时，加权算术平均数成为简单算术平均数。 即简单算术平均数是加权算术平均数的特例。 ④加权算术平均数的权数：影响平均水平高低的总体结构因素。 权数的两种表现形式：频数权数（绝对数权数）和频率权数（比重权数）。权数对平均数作用的大小取决于频率权数。 二、调和平均数 1.含义 各标志值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均数。 2.公式： 3.适用：当掌握的权数是总体标志总量时，即算术平均数的分子时，适用于调和平均数；当掌握的权数是总体单位总量，即算术平均数的分母时，适用于算术平均数。 4.特点：（1）容易受极端值的影响；（2）当数列中有一数据为0时，则调和平均数无法计算。 三、几何平均数 几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。 四、中位数 将总体各单位的标志值按大小顺序加以排列，居于中间位置的标志值就是中位数。 五、众数 众数是总体中最普遍的数，也就是总体中出现次数最多的那个标志值。 调和平均数、算术平均数和几何平均数都是按照各变量值进行计算的；众数和中位数则是两个位置平均数，根据位置条件和频数大小进行确定的，在一定条件下用它们反映变量数列的一般水平是非常有效的。 考点二 离中趋势代表值——标志变异指标 一、标志变异指标概念及作用 1.含义 反映总体各单位标志值差异程度的综合指标，它表明总体各单位标志值的离散程度和离中趋势，又称标志变动度。 2.作用 （1）是衡量平均数代表性的尺度； （2）可以说明和比较社会经济现象的均衡、稳定和协调性的高低； （3）反映总体各单位标志值的离中趋势。（基本作用） 3.种类 极差（全距）、平均差、标准差和离散系数。其中离散系数是用相对数来表示变量值差异程度的，又分标准差系数和平均差系数。 二、标志变异指标值的计算方法 1.极差 （1）含义：也称全距，是变量中最大值与最小值之差，是描述变量离散状况最简单的测量值，用R表示。 （2）公式：R=最大变量值-最小变量值 组距数列R=最高组的上限-最低组的下限 开口组数列，极差无法确定。 （3）优点（特点）:说明总体中两个极端标志值的变异范围，其计算方法简便、易懂、容易掌握。 缺点：受极端值影响很大，不能全面反映各单位标志值的差异程度。所以，其在实际应用上有一定的局限性。 （4）极差与方差的异同点 极差与方差的共同之处：都是衡量一组数据的波动大小的量。一组数据的极差、方差越小，这组数据的波动就越小，也就越稳定。 极差与方差的不同之处： 极差反映的仅仅是数据的变化范围；方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况。 极差的计算最简单，只需要计算数据的最大值与最小值的差即可，而方差的计算就要复杂得多。 2.平均差 （1）含义：总体各单位的标志值与算术平均数的离差绝对值的平均，它能综合反映总体中各单位标志值 的差异程度。 （2）公式： 未分组资料： 分组资料： （3）优点（特点）:计算简便，意义明确，能反映各标志值的大小和程度。 缺点：采用绝对值，不适用于数理统计中的数字处理，使用受限制。 3.标准差 （1）含义：又称均方差，是各标志值与其算术平均数离差平方的算术平均数的平方根。标准差是反映标志变动度的最重要的指标，由于各标志值对算术平均数的