2024年美国数学奥林匹克（初中组）

2024年美国数学奥林匹克（初中组） 程国根译 第一天 1.设ABCD为圆内接四边形，AB=7,CD=8.点 PQ在线段AB上，满足AP=BQ=3,点R,S在线段 CD上.满足CR=DS=2,求证：PQRS四点共侧， 2.设m,n为正整数，集合 S={x,)|1≤x≤2n,≤≤2，x,"∈Z}.称由mn个 矩形组成的集合是快乐的，如果这比矩形的边均平行于坐 标轴，且S中的每一点恰为其中一个矩形的顶点，求证： 证明快乐集合的个数是奇数 3.数列am定义如下：a1=2.对任意整数n之1， an+1=a1-1.,求证：对任意素数p>2,和正整数k, 都存在正整数n,使得p|an 第二天 4,设整数n≥3，罗文和科林在一个n×n的方格网上玩 游戏，每个小方格都被染为红，蓝二色之一，罗文可以任 意交换两行的位置，科林可以任意交换两列的位置，如果 一种染色方式满足以下条件，则称它是有序的： ()无论罗文如何对行进行排列，科林总可以对列进行排 列，以恢复原来的网格染色： (2)无论科林如何对列进行排列，罗文宗可以对行进行排 列，以恢复原来的网格染色。 对固定的，共有多少种有序的染色方式？ 5.求所有函数了：R+R,使得对任意x,ER,都有 f(x2-y)+2yf(r)=f(f())+f(v). 6.锐角△ABC内一点D满足∠DAC=∠ACB ∠BDC=90+∠BAC.点E在射线BD上，满足 AE=EC.M为BC中点：求证：直线AB与△BEM 的外接圆扫切.