2024年中考数学（北师大版）二轮复习专题特训课件与旋转有关的计算证明题与探究题

专题特训　与旋转有关的计算证明题与探究题 类型一　与旋转有关的计算证明题 1. （2023·诸城期末）如图，将长方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到长方形AB'C'D'.已知∠1＝120°，则旋转角α的度数为（　D　） A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° D 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一把三角尺的直角顶点与边BC的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中，错误的是（　C　） A. AE＋AF＝AC B. ∠BEO＋∠OFC＝180° C. OE＋OF＝BC D. S四边形AEOF＝S△ABC C 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在边AC上，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转45°得到△ACD'，且D'，D，B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数为 　22.5°　⁠. 22.5° 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 如图，F是长方形ABCD内一点，点E在边BC上，连接AF，EF.将线段AF绕点A按顺时针方向旋转90°得到AP，连接PE.若AB＝8，BC＝6，BE＝CE，EF＝4，则PE长的最小值为 　2－4　⁠. 2－4 1 2 3 4 5 6 7 8 5. （2023·晋江模拟）如图，在长方形ABCD中，将直角三角形ADC绕点A按顺时针方向旋转得到△AFE，点F恰好落在对角线AC上，FE交BC于点P，AE交BC于点Q，∠DAC＝30°.求证：△PQE是等边三角形. （第5题） 解：∵ 四边形ABCD为长方形，∴ ∠DAB＝∠D＝∠B＝90°.∵ △AFE是△ADC绕点A按顺时针方向旋转得到的，点F在AC上，∴ ∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAC＝30°.∴ ∠E＝180°－90°－30°＝60°. ∵ ∠DAB＝90°，∴ ∠QAB＝90°－30°－30°＝30°.∵ ∠B＝90°，∴ ∠AQB＝60°.∴ ∠PQE＝∠AQB＝60°＝∠E.∴ △PQE是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AQ，连接BQ，BP，CP.若PA＝6，PB＝8，PC＝10，求四边形APBQ的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 解：如图，连接PQ.由旋转的性质，可知AP＝AQ，∠PAQ＝60°， ∴ △PAQ是等边三角形.∴ PQ＝PA＝6.∴ 易知S△PAQ＝×6×3＝9. ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠CAB＝60°，AC＝AB.∴ ∠CAB＝∠PAQ＝60°.∴ ∠CAB－∠BAP＝∠PAQ－∠BAP，即∠CAP＝∠BAQ.在△ACP和△ABQ中，∴ △ACP≌△ABQ.∴ BQ＝CP＝10. ∵ PB2＋PQ2＝82＋62＝100，BQ2＝100，∴ PB2＋PQ2＝BQ2.∴ △BPQ是直角三角形，且∠BPQ＝90°.∴ S△BPQ＝×6×8＝24.∴ S四边形APBQ＝S△BPQ＋S△PAQ＝24＋9. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型二　与旋转有关的探究题 7. 如图①，将两个完全相同的△ABC和△DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°. （1） 如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB上时. ① 线段DE与AC的位置关系是 　DE∥AC　⁠. ② 设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 　S1＝S2　⁠. DE∥AC S1 ＝S2 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 当△DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE上的高，请你证明小明的猜想. 解：∵ ∠DCE＝∠ACB＝90°，∴ ∠DCM＋∠ACE＝180°.又∵ ∠ACN＋∠ACE＝180°，∴ ∠ACN＝∠DCM.∵ DM⊥BC，AN⊥CN， ∴ ∠CNA＝∠CMD＝90°.在△ANC和△DMC中， ∴ △ANC≌△DMC.∴ AN＝DM.又∵ CE＝BC，∴ BC·DM＝CE·AN，即S1＝S2. 1 2 3 4 5 6 7 8 8. （1） 如图①，△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，将△BCE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ACF，连接EF.求证：AB＝BD＋AF. 1 2 3 4 5 6 7 8 解：（1） 由旋转的性质，可知BE＝AF，∠ABC＝∠FAC，EC＝FC，∠ECF