2024年中考数学（北师大版）二轮复习专题特训课件：构造等腰三角形解题的常用方法

专题特训　构造等腰三角形解题的常用方法 类型一　连接线段构造等腰三角形 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点.求证：DG⊥EF. （第1题） 解：连接DE，DF.∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C.在△BDE和△CFD中，∴ △BDE≌△CFD.∴ DE＝FD. ∵ G是EF的中点， ∴ DG⊥EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.求证：M是BE的中点. （第2题） 解：连接BD.∵ △ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠ABC＝30°.∵ CE＝CD，∴ ∠CDE＝∠E. ∵ ∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴ ∠E＝∠ACB＝30°.∴ ∠DBC＝∠E.∴ BD＝ED.又∵ DM⊥BC，∴ M是BE的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型二　利用垂直平分线的性质构造等腰三角形 3. 如图，在△ABC中，∠A∶∠B ∶∠C＝18∶7∶11，D是BC的中点，且DE⊥BC于点D，交AB于点E.求证：BE2－AE2＝AC2. 1 2 3 4 5 6 7 8 解：如图，连接CE.∵ ∠A∶∠B∶∠C＝18∶7∶11，∴ 设∠A＝18x°，∠B＝7x°，∠C＝11x°.∴ 18x＋7x＋11x＝180，解得x＝5.∴ ∠A＝90°.∵ D是BC的中点，DE⊥BC，∴ BE＝CE.∵ ∠A＝90°，∴ 根据勾股定理，得CE2－AE2＝AC2.∴ BE2－AE2＝AC2. （第3题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 类型三　作平行线构造等腰三角形 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F.求证：DF＝EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 解：如图，过点D作DM∥AC交BC于点M.∴ ∠DMB＝∠ACB，∠FDM＝∠E.∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB.∴ ∠B＝∠DMB.∴ BD＝MD. ∵ BD＝CE，∴ MD＝CE.在△DMF和△ECF中， ∴ △DMF≌△ECF. ∴ DF＝EF. （第4题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 类型四　利用倍角转化法构造等腰三角形 5. 在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝90°. 解：如图，作∠ACB的平分线CD交AB于点D，过点D作DE⊥BC于点E.∴ ∠ACD＝∠BCD＝∠ACB，∠CED＝90°.∵ ∠ACB＝2∠B， ∴ ∠B＝∠BCD＝∠ACB.∴ BD＝CD.∵ DE⊥BC，∴ BE＝CE＝BC. ∵ BC＝2AC，∴ AC＝CE＝BC.在△ACD和△ECD中，∴ △ACD≌△ECD.∴ ∠A＝∠CED＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型五　利用“截长补短”法构造等腰三角形 6. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C.求证：AB＋BD＝CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 解：如图，在CD上取一点E，使ED＝BD，连接AE.∵ AD⊥BC， ∴ ∠ADE＝∠ADB＝90°.在△ADE和△ADB中， ∴ △ADE≌△ADB.∴ AE＝AB.∴ ∠AEB＝∠B＝2∠C.又∵ ∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴ ∠EAC＝∠C.∴ AE＝EC.∴ AB＝EC.∴ CD＝EC＋ED＝AB＋BD，即AB＋BD＝CD. （第6题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 解：如图，延长BD到点F，使BF＝BA，连接AF，CF.∵ ∠ABD＝60°，∴ △ABF为等边三角形.∴ AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°. ∴ ∠ACF＝∠AFC.又∵ ∠ACD＝60°，∴ ∠AFB＝∠ACD.∴ ∠DFC＝∠DCF.∴ DC＝DF.∴ BD＋DC＝BD＋DF＝BF＝AB，即BD＋DC＝AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型六　利用特殊角构造等边三角形 8. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°.求CD的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 解：如图，延长AD，BC交于点E.∵ ∠A＝30°，∠B＝90°，∴ BE＝AE，∠E＝60°.∵ ∠ADC＝120°，∴ ∠EDC＝60°.∴ 易得△EDC是等边三角形.设CD＝CE＝DE＝x.∵ AD＝4，BC＝1，∴ 1＋x＝（x＋4），解得x＝2.∴ CD＝2. （第8题答案） 1 2 3 4 5 6