2024年中考数学（北师大版）二轮复习高频考点突破课件：平行四边形

第六章　平行四边形 考点一　平行四边形的性质 典例1　（2023·沅江期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝10，AB＝4. （1） 求证：△ABO是直角三角形. （2） 求▱ABCD的面积. 思路导引　（1） 首先利用平行四边形的性质求得对角线的一半的长，然后利用勾股定理的逆定理判定直角.（2） 利用底×高求得面积即可. 规范解答　（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ AC＝6，BD＝10， ∴ OA＝3，OB＝5. ∵ AB＝4， ∴ AB2＋OA2＝OB2. ∴ ∠BAO＝90°. ∴ △ABO是直角三角形. （2） ▱ABCD的面积＝AB·AC＝4×6＝24. 1. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD.求证：△AED≌△CFB. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥CB.∴ ∠ADB＝∠CBD.∵ ED⊥DB，FB⊥BD，∴ ∠EDB＝∠FBD＝90°.∴ ∠ADE＝∠CBF.在△AED和△CFB中， ∴ △AED≌△CFB. 考点二　平行四边形的判定 典例2　如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接ED，FB. （1） 求证：四边形BEDF为平行四边形. （2） 若BE＝3，EF＝2，求BD的长. 思路导引　（1） 由平行四边形的性质，得OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AB＝CD.由平行线的性质，得∠BAE＝∠DCF，进而证得△ABE≌△CDF，可得AE＝CF，故OE＝OF.再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可求证.（2） 由（1），得OE＝OF＝EF＝1，在Rt△BEO中，由勾股定理得出OB的长，再根据BD＝2OB即可得出结果. 规范解答　（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AB∥CD. ∴ ∠BAE＝∠DCF. ∵ BE⊥AC，DF⊥AC， ∴ ∠AEB＝∠CFD＝90°. 在△ABE和△CDF中， ∴ △ABE≌△CDF. ∴ AE＝CF. ∴ OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. 又∵ OB＝OD， ∴ 四边形BEDF为平行四边形. （2） 由（1），得OE＝OF＝EF＝×2＝1. ∵ BE⊥AC， ∴ ∠BEO＝90°. ∴ 在Rt△BEO中，由勾股定理，得OB＝＝＝. ∴ BD＝2OB＝2. 2. 如图，以△ABC的三边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，求证：四边形ADEF是平行四边形. （第2题） 解：∵ △ABD，△BCE都是等边三角形，∴ AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC，∠DBA＝∠EBC＝60°.∴ ∠DBA－∠EBA＝∠EBC－∠EBA，即∠DBE＝∠ABC.在△DBE和△ABC中， ∴ △DBE≌△ABC.∴ DE＝AC.∵ △ACF是等边三角形，∴ AC＝AF.∴ DE＝AF.同理，可得AD＝EF.∴ 四边形ADEF是平行四边形. 考点三　三角形的中位线 典例3　如图①，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点. （1） 求证：FG＝FH. （2） 若∠A＝90°，求证：FG⊥FH. （3） 若∠A＝80°，求∠GFH的度数. 思路导引　（1） 由线段中点的定义及AB＝AC，得BD＝CE.由三角形的中位线性质，得FG＝BD，FH＝CE，从而得到FG＝FH.（2） 由三角形的中位线定理，得FG∥BD，FH∥EC，再结合∠A＝90°及平行线的性质，可证FG⊥FH.（3） 延长FG交AC于点K.由FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC的度数，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数. 规范解答　（1） ∵ D，E分别是边AB，AC的中点， ∴ BD＝AB，CE＝AC. ∵ AB＝AC， ∴ BD＝CE. ∵ F，G，H分别为BE，DE，BC的中点， ∴ FG＝BD，FH＝CE. ∴ FG＝FH. （2） ∵ F，G分别为BE，DE的中点， ∴ FG∥BD. 同理，可得FH∥EC. ∵ ∠A＝90°，即AB⊥AC， ∴ FG⊥AC. ∵ FH∥CE， ∴ FG⊥FH. （3） 如图②，延长FG交AC于点K. ∵ FG∥BD，∠A＝80°， ∴ ∠FKC＝∠A＝80°. ∵ FH∥CE， ∴ ∠GFH＝180°－∠FKC＝180°－80°＝100°. 3. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数. 解：如图，连接BD.∵ E，F分别