奥数—周期问题（讲义）-2023-2024学年五年级上册数学人教版

五年级上册奥数教材 周期问题 【知识导航】 周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复地出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。 解答周期问题的关键是找规律，找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算。 【精典例题1】 例1：有一列数：2, 3，6, 8, 8，4, 2, 8，......从第3个数开始，每个数都是前面两个数乘积的个位数字。这列数的第33个数是几？ 思路导航：如果单单看这道题里的几个数看不出有什么特点，继续写下去：2,3,6,8,8,4,2,8,6,8,8,4,2,8,6,8,8,4,2,8，......认真观察后发现，除了前两个数外，其余每六个数为一个循环周期重复出现6,8,8,4,2,8，因此，从33个数里减去前2个数，后面的数都是6个数的循环，（33-2）÷6=5......1，这样循环了5次，还余下一个数，即每次循环的第一个数6， 解：（33-2）÷6 =31÷6 =5......1 答：第33个数是6 【小试身手】 1.有一列数：1, 3，4, 7, 1，8, 9, 7，......从第3个数开始，每个数都是前面两个数和的个位数字。这列数的第40个数是几？ 2.有一列数：3, 9，2, 1, 3，4, 7，......从第3个数开始，每个数都是前面两个数和的个位数字。这列数的第16个数是几？ 3.紧接着2014后面写一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。例如1,4后面写4，在4,4后面写6，......得到一串数字：2,0,1,4,4,6......这串数字从头开始往右数，第2014个数字是什么？ 【精典例题2】 例2：5÷7的商的小数部分第100位数字是几？ 思路导航：先计算 5÷7的商，5÷7=0.71428571428571......我们发现除数是7的算式的商有一个特点是：都是7、1、4、2、8、5，这6个数字在商中依次不断地重复出现，仅仅是位置不同。 解：5÷7=0.71428571428571...... 100÷6=16......4 这就是说商的小数部分按6个数字一组重复16次，还余下4个数，第4个数字是2. 答：5÷7的商的小数部分第100位数字是2. 【小试身手】 1. 1÷14的商的小数部分第201位数字是几？ 2. 6÷7的商的小数部分第189位数字是几？ 3. 26÷11的商的小数部分第100位数字是几？ 【精典例题3】 例3：有一列数：5,8,13,21,34,55,89，......从第三个数起，每个数都是前两个数的和，第2001个数被3除后所得的余数是几？ 思路导航：先写出数串：5,8,13,21,34,55,89,144,233,377，......被3除后所得的余数：2,2,1,0,1,1,2,0,2,2，......通过观察、这串数依次被3除所得的余数，从第3个余数起，每个余数也恰好是前两个余数的和（当前两个余数的和为3时，余数3-3=0；当前两个余数的和为4时，余数就是4-3=1），并以2,2,1,0,1,1,2,0的顺序循环出现，周期为8. 解：2001÷8=250（组）......1（个） 第2001个数被3除后所得的余数是第251组的第1个数，所以所求余数是2。 答：第2001个数被3除后所得的余数是2. 【小试身手】 1.有一列数：其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，那么在这列数中，第1001个数被3除后所得的余数是几？ 2.有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，那么在这列数中，第1865个数被3除后所得的余数是几？ 3.有一列数：1,2,4,7,11,16,22,29......这列数第1996个数除以3的余数是多少？ 【综合练习】 1.9÷13的商的小数点后第1993位数字是几？ 2.已知一列数：5,4,7,1,2,5,4,3,7,1,2,5,4,3,7,1,2,5,4,3，......由此可推出第2008个数是多少？ 3.在一个循环小数0.1234567中，如果要使这个循环小数第100位数字是5，那么表示循环节的两个小圆点，应分别在哪两个数字上？ 4.在数列1,1,2,3,5,8,13,21,34，......中，前2002个数的和除以5的余数是多少？ 5.有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7...... （1）第58个数是多少？ （2）这58个数相加的和是多少？ 6.小青