6.2 立方根讲义2023-2024学年人教新版七年级下学期数学

6.2 立方根 认知定位 重点 立方根的概念、求法和性质． 难点 立方根的求法，立方根与平方根的联系及区别． 认知要求 1．了解立方根的概念，会用开立方运算求一个数的立方根． 2．了解立方根的性质，并学会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值． 3．分清一个数的立方根与平方根的区别． 考点导航 考点1 求立方根和开立方 考点精讲 1．立方根的概念和性质 （1）定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根． （2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数． （3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数． 2．开立方 （1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方． （2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0； ②； ③=a． （3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根． 【精讲1】（2023秋•萍乡期末）的值是　　 A．2 B． C．4 D． 【分析】根据立方根的定义求出即可． 【解答】解：， 故选：． 【精讲2】（2023秋•丰泽区期末）的立方根是　　 A．4 B．2 C． D． 【答案】 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【解答】解：的立方根是． 故选：． 【精讲3】（2023秋•秦安县期末）的立方根是　　 A．2 B． C．8 D． 【答案】 【分析】先求出，再根据立方根的定义计算即可． 【解答】解：， ， 的立方根是2． 故选：． 名师点拨 根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根． 考点2 平方根与立方根 考点精讲 平方根和立方根的区别和联系 （1）被开方数的取值范围不同 在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数． （2）运算后的数量不同 一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根． 【精讲1】（2023秋•漳州期末）已知的算术平方根是5，的立方根是2，求的值． 【答案】10． 【分析】直接利用算术平方根以及立方根的定义得出，的值，进而得出答案． 【解答】解：的算术平方根是5， ， ， 的立方根是2， ， ， ． 【精讲2】（2023秋•邯郸期末）已知：的两个平方根是与，且的算术平方根是3． （1）求、的值； （2）求的立方根． 【答案】（1），； （2）2． 【分析】（1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后利用立方根的定义即可求得答案． 【解答】解：（1）解：的平方根是与，且的算术平方根是3， ，， 解得：，； （2），， ， 的立方根是2． 【精讲3】（2023秋•宁强县期末）一个正数的平方根是与，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】5． 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义求出、的值，再代入求出的值，再由算术平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：一个正数的平方根是与， ， 解得， ，， ， 的立方根是， ， ， 的算术平方根． 名师点拨 （1）由于开平方与平方、开立方与立方互为逆运算，所以将平方根或算术平方根平方，可得原数（被开方数），将立方根立方可得原数（被开方数）． （2）一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，由此可列方程求出相关字母的值，再进一步解决其他问题． （3）在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数． 考点3 利用立方根的性质求值 考点精讲 如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数；如果两个数的立方根相等，那么这两个数也相等．由此可以去掉根号求值． 【精讲1】下列说法正确的是　　 A．的算术平方根是2 B．互为相反数的两数的立方根也互为相反数 C．平方根是它本身的数有0和1 D．的立方根是 【分析】根据算术平方根的定义，相反数的定义，算术平均数的计算公式，分数的定义作答． 【解答】解：、的算术平方根是，故本选项错误； 、互为相反数的两数的立方根也互为相反数，故本选项正确； 、平方根是它本身的数只有0，故本选项错误； 、的立方根是，故本选项错误． 故选：． 【精讲2】（2022春•绥棱县期末）我们知道时，也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若与互为相反数，求的值． 【分析】1、用2与来验证即可． 2、根据题的结论计算． 【解答