山东省各地2023-2024学年高三数学一模分类精选：数列

山东各地2023---2024学年高三一模数学分类精选：数列 一、单选题 1．（2024·山东青岛·一模）记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为（    ） A．9 B．16 C．25 D．50 2．（2024·山东青岛·一模）等比数列中，，，则（    ） A．32 B．24 C．20 D．16 3．（2024·山东潍坊·一模）已知等差数列的前n项和为，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 4．（2024·山东聊城·一模）已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·山东聊城·一模）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．10 6．（2024·山东潍坊·一模）已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·山东济宁·一模）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 8．（2024·山东菏泽·一模）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·山东临沂·一模）已知等差数列的前项和为.若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 二、多选题 10．（2024·山东烟台·一模）给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（    ） A．存在，使得恒成立 B．存在，使得恒成立 C．对任意，总存在，使得 D．对任意，总存在，使得 11．（2024·山东潍坊·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C． D．（） 三、填空题 12．（2024·山东淄博·一模）已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比q= . 四、解答题 13．（2024·江苏南通·二模）已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和； (3)是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 14．（2024·山东青岛·一模）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，． (1)若，用表示； (2)证明：； (3)若，，，证明：． 15．（2024·山东泰安·一模）已知各项均不为0的递增数列的前项和为，且（，且）． (1)求数列的前项和； (2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“-数列”．证明： ①对任意且，存在“-数列”，使得成立； ②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立． 16．（2024·山东菏泽·一模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求证：． 17．（2024·山东济宁·一模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立； (3)设，，数列的前项和为．证明：． 18．（2024·山东潍坊·一模）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)证明：（，）； (3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围． 参考答案： 1．C 【分析】 根据等差数列的求和公式计算可得，利用基本不等式计算即可得出结果. 【详解】∵， 又∵， ∴，当且仅当时，取“=” ∴的最大值为25. 故选：C 2．A 【分析】利用已知求出首项和公比,再求. 【详解】由题得 所以. 故选：A. 3．C 【分析】 根据题意，由等差数列的前项和公式即可得到，再由等差数列的求和公式即可得到结果. 【详解】因为数列为等差数列，则， 又，则，即， 则. 故选：C 4．C 【分析】 根据充分必要条件的证明方法，结合等比数列的定义与数列递推式即可得解. 【详解】当时，因为，所以， 又，则，则， 依次类推可知，故， 则是首项为，公比为的等比数列，即充分性成立； 当是等比数列时，因为，所以， 当时，，则是公比为的等比数列， 所以，即， 则，，， 由，得，解得，不满足题意； 当，即时，易知满足题意； 所以，即必要性成立. 故选：C. 5．B 【分析】 根据等差数列的性质求解. 【详解】等差数列的前项和为，则，故， ，故， 由得， 故选：B 6．A 【分析】 利用等比数列求出，进而求得，再利用累加法求通项得解. 【详解】依题意，，，当时，，则， 所以 . 故选：A 7．D 【分析】根据题意求出首项与公差，再根据等差数列前项和公式即可得解. 【详解】设数列的公差为， 由，， 得，解得， 所以. 故选：D. 8．C 【分析】利用分类讨论及通项公式的特点，再利用组合数公式和古典概型的概率