第四单元 指数函数与对数函数（知识考点）-【中职专用】高中数学单元复习讲与测（北师大版2021·基础模块上册）

第四单元 指数函数与对数函数 知识点一：实数指数幂 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 － 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ＝0． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1.这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 知识点二：指数函数 1．定义： 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2．指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点三：对数 1．对数 (1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两类重要的对数 ①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作lnN． 注：(i)无理数e＝2.718 28…；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1＝0，logaa＝1. (3)对数与指数之间的关系 当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝logaN. (4)对数运算的性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM；一般地，＝ logaM； (5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝. 知识点四：对数函数 1．定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2．对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 考点一 实数指数幂 1．设，下列计算中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．计算（ ） A． B． C． D． 3．化简：（1）（）； （2）； （3）. 4．计算：（1）；（2）；（3）；（4）. 5．用分数指数幂形式表示下列各式（式中）： （1）； （2）； （3）； 考点二 指数函数 6．下列是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 7．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 8．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 9．若指数函数，，（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 10．函数且的图像必经过点（ ） A． B． C． D． 11．若函数的图象如图所示，则（ ） A．， B．， C．， D．， 12．已知，，，则，，三者的大小关系是（ ） A． B． C． D． 13．已知函数，则不等式的解集为 . 14．已知指数函数（且）在区间上的最大值是最小值的2倍，则 . 考点三 对数 15．若，，则下列各式中，恒等的是（ ） A． B． C． D． 16．已知函数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 1