5.2.1 课时2 基本初等函数的导数 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

基本初等函数的导数 学习目标 掌握基本初等函数的导数公式，能利用导数公式求基本初等函数相关的导数问题. 学习活动 导入：上节课我们已经了解过基本初等函数，根据导数公式完成下面填空. 基本初等函数的导数公式 1. 若(为常数)，则 ； 2. 若，且，则 ； 3. 若，则 ； 4. 若，则 ； 5. 若，且，则 ； 特别地，若，则 ； 6. 若，且，则 ； 特别地，若，则 ； 目标：掌握基本初等函数的导数公式，能利用导数公式求基本初等函数相关的导数问题. 任务1：利用导数公式求基本初等函数的导数. 求下列函数的导数： （1）；（2）. 任务2：求下列函数的切线方程. 问题1.求余弦曲线在点处的切线方程. 【归纳总结】 求函数的图象在某点处的切线方程步骤： （1） 求函数的导数； （2） 求切线的斜率； （3） 求切线方程：； （4） 整理方程. 练一练： 求曲线在点（4,2）处的切线方程. 问题2.求过点（1,0）且与抛物线相切的直线方程. 提示1：点（1,0）在抛物线图象上吗？ 提示2：若设切点为，该切线的斜率是多少，由此能求出切点吗？ 思考：求解过曲线外一点的切线方程的步骤是怎样的？ 【归纳总结】 求过曲线外一点的函数切线方程步骤： （1）设切点； （2）求切线的斜率； （3）列出并求解关于的等式； （4）将的值代入，求出并化简切线方程. 练一练： 已知函数．求曲线过点的切线方程． 任务3：利用导数求解实际问题中的变化率问题. 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价（单位：元）与时间：（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价，假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？ 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “基本初等函数的导数公式”、“求切线方程”. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 基本初等函数的导数 学习目标 掌握基本初等函数的导数公式，能利用导数公式求基本初等函数相关的导数问题. 学习活动 导入：上节课我们已经了解过基本初等函数，根据导数公式完成下面填空. 基本初等函数的导数公式 1. 若(为常数)，则 ； 2. 若，且，则 ； 3. 若，则 ； 4. 若，则 ； 5. 若，且，则 ； 特别地，若，则 ； 6. 若，且，则 ； 特别地，若，则 ； 参考答案： 基本初等函数的导数公式 1. 若(为常数)，则； 2. 若，且，则； 3. 若，则； 4. 若，则； 5. 若，且，则； 特别地，若，则； 6. 若，且，则； 特别地，若，则； 目标：掌握基本初等函数的导数公式，能利用导数公式求基本初等函数相关的导数问题. 任务1：利用导数公式求基本初等函数的导数. 求下列函数的导数： （1）；（2）. 参考答案：（1）； （2）. 任务2：求下列函数的切线方程. 问题1.求余弦曲线在点处的切线方程. 参考答案：，所以，所以点处的切线方程为：，即. 【归纳总结】 求函数的图象在某点处的切线方程步骤： （1） 求函数的导数； （2） 求切线的斜率； （3） 求切线方程：； （4） 整理方程. 练一练： 求曲线在点（4,2）处的切线方程. 参考答案：解：（1），所以，所以点（4,2）处的切线方程为：，即. 问题2.求过点（1,0）且与抛物线相切的直线方程. 提示1：点（1,0）在抛物线图象上吗？ 提示2：若设切点为，该切线的斜率是多少，由此能求出切点吗？ 参考答案：由题可知，，所以，所以，即，解得或.当时，，此时切线方程为；当时，，此时切线方程为，即. 思考：求解过曲线外一点的切线方程的步骤是怎样的？ 【归纳总结】 求过曲线外一点的函数切线方程步骤： （1）设切点； （2）求切线的斜率； （3）列出并求解关于的等式； （4）将的值代入，求出并化简切线方程. 练一练： 已知函数．求曲线过点的切线方程． 参考答案：解：设切点为，且， 因此有，解得，所以， 所以切线方程为，即. 任务3：利用导数求解实际问题中的变化率问题. 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价（单位：元）与时间：（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价，假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？ 参考答案：解：根据基本初等函数的导数公式表，有，所以.所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.0