5.2.1 课时1 基本初等函数的导数 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

基本初等函数的导数 学习目标 能根据导数的定义求函数，，，，，的导数，知道基本初等函数的导数公式. 学习活动 导入：上节课我们已经学过函数在处的导数的概念及其几何意义，那么 问题1：求函数在处的导数的步骤是什么？ 问题2：函数在处的导数的几何意义是什么？ 目标：能根据导数的定义求函数，，，，，的导数，知道基本初等函数的导数公式. 任务：根据导数的定义求下列基本初等函数的导数. 问题1：如何求函数、、、、的导数？它们的几何意义分别是什么？ 问题2：若函数、、都是关于路程与时间的函数，则其导数的物理意义是什么？ 【归纳总结】 基本初等函数导数公式 基本初等函数的导数公式 1. 若(为常数)，则； 2. 若，且，则； 3. 若，则； 4. 若，则； 5. 若，且，则； 特别地，若，则； 6. 若，且，则； 特别地，若，则； 练一练： 利用定义求函数导数. 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “基本初等函数导数”. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 基本初等函数的导数 学习目标 能根据导数的定义求函数，，，，，的导数，知道基本初等函数的导数公式. 学习活动 导入：上节课我们已经学过函数在处的导数的概念及其几何意义，那么 问题1：求函数在处的导数的步骤是什么？ 参考答案： 第一步，计算，并化简； 第二步，若存在，求； 第三步，得到. 问题2：函数在处的导数的几何意义是什么？ 参考答案：函数在处的导数就是曲线在处的切线的斜率k0，即 . 目标：能根据导数的定义求函数，，，，，的导数，知道基本初等函数的导数公式. 任务：根据导数的定义求下列基本初等函数的导数. 问题1：如何求函数、、、、的导数？它们的几何意义分别是什么？ 参考答案：（1）因为所以所以 几何意义：函数的图象在任意点处的切线均垂直于y轴，斜率为0； （2）因为 所以所以 几何意义：函数的图象在任意点处的切线斜率为1； （3）因为 ；所以所以 几何意义：表示函数的图象上点(x, y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化. 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着x的增加，越来越小，减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，越来越大，增加得越来越快. 正如图所示， （4）因为 ， 所以所以 几何意义：表示函数的图象上点(x, y)处切线的斜率为，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 如图所示， （5）因为 ，所以所以 几何意义：如图 结合函数图象及其导数发现，当x<0时，随着x的增加，函数减少得越来越快；当x>0时，随着x的增加，函数减少得越来越慢. 问题2：若函数、、都是关于路程与时间的函数，则其导数的物理意义是什么？ 参考答案：（1）的导数可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 所以路程保持不变，是关于时间的常值函数；（2）的导数可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. 所以路程是关于时间的一次函数.；（3）的导数可以解释为某物体做变速直线运动，它在时刻x的瞬时速度为2x. 【归纳总结】 基本初等函数导数公式 基本初等函数的导数公式 1. 若(为常数)，则； 2. 若，且，则； 3. 若，则； 4. 若，则； 5. 若，且，则； 特别地，若，则； 6. 若，且，则； 特别地，若，则； 练一练： 利用定义求函数导数. 参考答案：解：因为 ；所以.所以. 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “基本初等函数导数”. 参考答案： 基本初等函数的导数公式 1. 若(为常数)，则； 2. 若，且，则； 3. 若，则； 4. 若，则； 5. 若，且，则； 特别地，若，则； 6. 若，且，则； 特别地，若，则； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$