5.1.2 课时1 导数的概念及其几何意义 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数的概念及其几何意义 学习目标 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵和思想. 2.体会极限思想，会利用导数的概念求函数在某点处的导数 学习活动 目标一：了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵和思想. 任务：完成下列问题，归纳导数的有关概念. 高台跳水运动员的速度 抛物线的切线的斜率 平均速度： 时间段内的平均速度 割线斜率： 点与两点间的斜率 瞬时速度： 当时的瞬时速度 切线斜率： 函数图象在点处的斜率 问题1：我们在推导瞬时速度和切线斜率问题时分别采用了什么思想，有什么共性？ 【新知讲解】 平均变化率：对于函数，设自变量从变化到+ ，相应地，函数值就从变化到.这时，的变化量为，的变化量为 我们把比值，即=叫做函数从到的平均变化率. 问题2：上述问题1平均变化率逼近瞬时速度和切线斜率的步骤都有哪些？ 思考：当时，平均变化率=是否一定会无限趋近于一个确定的值？ 提示：求在x＝0处的平均变化率. 【新知讲解】 导数的概念：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即. 注：1.要存在唯一确定的值，否则就称在处不可导. 2.在处的导数表示为或，这里只与的选取有关，与无关，而且表示的是在处的一个具体数值，不是变量. 因此根据导数定义，问题1中的瞬时速度，就是函数在t=1处的导数；问题2中在点处的切线斜率，就是在在处的导数. 练一练： 下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 目标二：体会极限思想，会利用导数的概念求函数在某点处的导数. 任务1：求下列函数在某点处的导数，归纳求导的运算步骤. 已知函数，求在处的导数. 思考：如何求函数在处的导数？ 【归纳总结】 求函数在的步骤： 1.写出函数从到的平均变化率并化简； 2.求极限，若存在，则导数. 任务2：利用导数求解有关的实际问题. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品需要对原油进行冷却和加热. 已知在第h时，原油的温度（单位：）为. 等于计算，第3h与第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 提示1.第3h与第5h时，原油温度的瞬时变化率与导数有什么关系？ 问题：和在这个实际问题中代表的意义是什么？ 练一练： 一个小球从5m的高出自由下落，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为.求时小球的瞬时速度. 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “平均变化率”、“瞬时变化率”、“导数”. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数的概念及其几何意义 学习目标 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵和思想. 2.体会极限思想，会利用导数的概念求函数在某点处的导数 学习活动 目标一：了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵和思想. 任务：完成下列问题，归纳导数的有关概念. 高台跳水运动员的速度 抛物线的切线的斜率 平均速度： 时间段内的平均速度 割线斜率： 点与两点间的斜率 瞬时速度： 当时的瞬时速度 切线斜率： 函数图象在点处的斜率 问题1：我们在推导瞬时速度和切线斜率问题时分别采用了什么思想，有什么共性？ 参考答案：前者：通过求极限将平均速度无限逼近瞬时速度，后者：通过求极限将割线的斜率无限逼近切线斜率. 共性：都是利用求极限的方式，无限逼近. 【新知讲解】 平均变化率：对于函数，设自变量从变化到+ ，相应地，函数值就从变化到.这时，的变化量为，的变化量为 我们把比值，即=叫做函数从到的平均变化率. 问题2：上述问题1平均变化率逼近瞬时速度和切线斜率的步骤都有哪些？ 参考答案：（1）先确定平均变化率的研究范围：即在处，选取自变量x的一个改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为 0；（2）求自变量x从变化到这个过程中函数值的平均变化率，即=；（3）令，则可求得. 思考：当时，平均变化率=是否一定会无限趋近于一个确定的值？ 提示：求在x＝0处的平均变化率. 参考答案：解：设在处，选取自变量x的一个改变量，所以. 当时，；当时，；因此当时，平均变化率=不一定会无限趋近于一个确定的值. 【新知讲解】 导数的概念：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即. 注：1.要存在唯一确定的值，否则就称在处不可导. 2.在处的导数表示为或，这里只与的选取有关，与无关，而且表示的是在处的一个具体数值，不是变量. 因此根据导数定义，问题1中的瞬时速度，就是函数在t=1处的导数；问题2中在点处