5.1.2 课时2 导数的概念及其几何意义 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数的概念及其几何意义 学习目标 1.知道切线的概念，理解导数的几何意义. 2.会用导数的概念求相关实际问题问题，理解导函数的概念. 学习活动 目标一：知道切线的概念，理解导数的几何意义. 任务1：探究导数的几何意义 问题1：观察函数y=f（x）的图象，在图像中平均变化率表示什么？ 问题2：在图像中瞬时变化率表示什么？ 思考1：观察下列动画，用你的话对曲线的切线下定义，并说说导数的几何意义是什么？ 【新知讲解】 切线：在曲线y=f(x)上任取一点P(x，f(x)),如果当点P(x，f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近与点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线y=f(x)在点处的切线. 导数的几何意义：导数表示函数f(x)的图象在点处切线的斜率，即 （其中为该切线的倾斜角）. 思考2：直线与曲线有一个公共点是直线与曲线相切的什么条件？ 问题3：将上述曲线图象在点处放大，观察图象，说说能否用切线在点处的值代替曲线在点处的值？ 任务2：探究导数与函数图象变换情况的关系 下图表示跳水运动中高度随着时间变化的函数的图象. 请描述、比较曲线分别在，，附近的变化情况. 提示：如何刻画曲线分别在，，附近的变化情况？ 思考3：导数符号与曲线的单调性有什么关系？导数大小与曲线的变化率有什么关系 【归纳总结】 1.y＝f（x）在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f ′（x0 ）＞0；k＜0⇔f ′（x0）＜0；k＝0⇔f ′（x0）＝0. 2.|f ′（x0）|越大⇔曲线在x0处瞬时变化越快；|f ′（x0）|越小⇔曲线在x0处瞬时变化越慢. 练一练. 已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是(　　) A．f ′(xA)＞f ′(xB) B．f ′(xA)＜f ′(xB) C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能确定 目标二：会用导数的概念求相关实际问题问题，理解导函数的概念. 任务1：利用导数估算瞬时变化率. 如图表示人体血管中的药物浓度 c = f (t) (单位：mg/mL) 随时间 t (单位：min) 变化的函数图像. 根据图像，估计 t = 0.8 min 时，血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到0.1). 任务2：理解导函数的概念. 回顾上面的例题，思考当变化时，是的函数吗？说明理由. 【新知讲解】 在求函数在点处的导数的过程中我们可以看出，当时，就是一个唯一确定的数，这样当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）.的导函数也可以记作，即. 思考：函数f（x）在处的导数、导函数之间有什么区别和联系？ 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “导数的几何意义”、“导函数”. 2 学科网（北京）股份有限公司 Lavf57.83.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $$ 导数的概念及其几何意义 学习目标 1.知道切线的概念，理解导数的几何意义. 2.会用导数的概念求相关实际问题问题，理解导函数的概念. 学习活动 目标一：知道切线的概念，理解导数的几何意义. 任务1：探究导数的几何意义 问题1：观察函数y=f（x）的图象，在图像中平均变化率表示什么？ 参考答案：表示割线的斜率. 问题2：在图像中瞬时变化率表示什么？ 参考答案：表示切线的斜率. 思考1：观察下列动画，用你的话对曲线的切线下定义，并说说导数的几何意义是什么？ 【新知讲解】 切线：在曲线y=f(x)上任取一点P(x，f(x)),如果当点P(x，f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近与点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线y=f(x)在点处的切线. 导数的几何意义：导数表示函数f(x)的图象在点处切线的斜率，即 （其中为该切线的倾斜角）. 思考2：直线与曲线有一个公共点是直线与曲线相切的什么条件？ 参考答案：即不充分也不必要条件. 问题3：将上述曲线图象在点处放大，观察图象，说说能否用切线在点处的值代替曲线在点处的值？ 参考答案：根据图象，可知当将点处曲线放大时，点处曲线越来越接近直线，因此可以用切线在点处的值近似代替曲线在点处的值（以直代曲）. 任务2：探究导数与函数图象变换情况的关系 下图表示跳水运动中高度随着时间变化的函数的图象. 请描述、比较曲线分别在，，附近的变化情况. 提示：如何刻画曲线分别在，，附近的变化情况？ 参考答案：解：用曲线h(t)分别在，，出切线的斜率刻画其在上述三个点附近的变化情况. （1） 当时，曲线在处的切线平行t轴，即，这时在附近曲线比较平坦，几乎没有升降； （2） 当时，曲线在处的切线的斜率，这时在