5.1.1变化率问题第1课时学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课时1 变化率问题 学习目标 1. 能通过分析实例，理解极限思想，了解瞬时速度的概念. 2.能利用极限思想求物体的瞬时速度. 学习活动 导入： 问题1：观察上图，说说三条曲线分别表示什么函数图象？ 参考答案：指数函数、一次函数、对数函数. 问题2：上述函数增长速度大小关系怎样？可以定量刻画吗？ 参考答案：指数函数＞一次函数＞对数函数. 目标一：能通过分析实例，理解极限思想，了解瞬时速度的概念. 任务：阅读下列探究材料完成问题. 高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系 . 问题1：用自己的话描述下运动员从起跳到入水过程中运动状态？ 参考答案：先减速上升，到达最高点后速度为0，然后加速下降. 问题2：假如我们将整个运动时间段分成许多小段，求，这段时间的平均速度？ 参考答案：， 问题3：计算时间段内的平均速度，并思考能用这段时间的平均速度准确描述该时间内运动员的运动状态吗？ 参考答案：由问题2可知，.因此这段时间的平均速度为0，然而运动员在这段时间并不是处于静止状态. 问题4：我们知道平均速度是指在时间的速度的均值，观察下列表格，思考什么情况下平均速度能描述运动员的状态？ 当时， 在时间段内 当时， 在时间段内 …… …… 提示.当表中无限趋近于0时，时，时间段与时，时间段会无限趋近于几？它们的平均速度又会趋近多少？ 参考答案：由知，当 0时， 0，所以 ，这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把叫做“当 0时， 的极限”，记为. 从物理的角度看，当时间间隔 0时，平均速度 时刻的速度.因此，运动员在时刻速度 . 【新知讲解】 瞬时速度：指物体在某一时刻的速度.比如就表示在时，运动员的速度. 目标二：能利用极限思想求物体的瞬时速度. 任务：求物体的瞬时速度. 根据目标一中的情境，我们知道运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：. 问题1：求运动员在t=2s时的瞬时速度. 参考答案：， 所以 问题2：如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？ 参考答案： ， 所以. 【新知讲解】 求时刻瞬时速度的步骤. 1.设，求出在时间段的平均速度； 2.令，取平均速度极限，即可求得时刻的瞬时速度. 练一练： 一个小球从5m的高出自由下落，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为.求时小球的瞬时速度. 参考答案： 解：， 令，则（其中负号表示速度方向竖直向下）. 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “瞬时速度”、“极限”. 参考答案： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$