2024年九年级中考数学专题复习讲义 定值问题

中考数学专题复习：定值问题 1． 线段长的定值问题 例1.如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C． （1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）． ①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质； ②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由． 2． 面积的定值问题 例2.如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD 以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合， 连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH 的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中 0≤x≤2.5. ⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值； ⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数； ⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长. 3． 线段比值的定值问题 例3.如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点A（3，6）． （1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度； （2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由； （3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？ 4． 周长的定值问题 例4.如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8． 理解与作图： （1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH． 计算与猜想： （2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？ 启发与证明： （3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想． 5． 三角函数值的定值问题 例5. 已知抛物线C1的解析式为．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）。[来若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证： =。 强化训练： 1.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合． （1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF； （2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 2.如图，在平面直角坐标系O中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=. （1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围； （2）连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值. （3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？ 3.已知：A、B、C不在同一直线上. （1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上， i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度； ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A= ； （2）.若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、