7.2.2 单位圆与三角函数线-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

7.2.2　单位圆与三角函数线 　　江南水乡,水车在清澈的河流里悠悠转动,缓缓地把河流里的水引进水渠,流向绿油油的田地,流向美丽的大自然。若把水车放在坐标系中,则水车上的点就可以用水车转动的角度及水车的半径来表示。 1.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P010 　 知识点一、正弦线与余弦线 　　1.单位圆的定义 一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆。 2.正弦线、余弦线的定义 如图所示,如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线,垂足为点M,则称为角α的正弦线,为角α的余弦线。 知识点二、正切线 　　直线x=1在平面直角坐标系中表示的是垂直于x轴且过A(1,0)的直线,如图所示,设角α的终边与直线x=1交于点T,则称为角α的正切线。 微提醒 　　(1)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。 (2)正弦线、余弦线方向与坐标轴同向,则函数值为正,与坐标轴反向,则函数值为负。 微思考　当角β的终边在第二、第三象限或x轴的负半轴上时,如何确定正切线? 提示:将角的终边反向延长,使其与x=1相交于一点。是角β的正切线。如图①②③所示,分别为角β的终边在第二、第三象限或x轴的负半轴上的情况。 ①② ③ 细研深究·萃取知识精华 学生用书P010 　 类型一 作角的三角函数线 　　【例1】　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线,并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切。 (1);(2)-。 解　(1)如图①所示,在单位圆中,,分别表示角的正弦线、余弦线、正切线。 根据直角三角形的知识可知,MP=,OM=,AT=, 所以sin=,cos=,tan=。 　　　①　　　　　　　　② (2)如图②所示,在单位圆中,,分别表示-角的正弦线、余弦线、正切线。根据直角三角形的知识可知,MP=,OM=,AT=,所以sin=-,cos=-,tan=。 　　三角函数线的特征 (1)位置:三条三角函数线中有两条在以坐标原点为圆心的单位圆内,一条在直线x=1上。 (2)方向:正弦线由原点指向y轴上的垂足;余弦线由原点指向x轴上的垂足;正切线由切点指向切线与α的终边(或其反向延长线)的交点。 (3)正负:与x轴或y轴同向的为正值,与x轴或y轴反向的为负值。 (4)书写:起点(比如点A)在前,终点(比如点B)在后,写为 【变式训练】　已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,则角α的终边 (　　) A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=x或y=-x上 答案　B 类型二 三角函数线的应用 　　命题方向1:比较三角函数值的大小 　　【例2】　利用三角函数线比较下列各组数的大小。 (1)sin与sin; (2)tan与tan。 解　令α=,β=,如图所示,P1,P2分别是角α,β的终边与单位圆的交点,,分别是角α,β的正弦线,,分别是角α,β的正切线。 (1)因为|| >||且与都与y轴正方向一致,所以sin>sin。 (2)因为||>||且与都与y轴正方向相反,所以tan<tan。 　　利用三角函数线比较三角函数值的大小的步骤 (1)找点,作出角的终边与单位圆的交点; (2)连线,作出三角函数线; (3)比较,比较三角函数线的数量大小,同时要注意符号 【变式训练】　cos 1,sin 1,tan 1的大小关系是 (　　) A.sin 1<cos 1<tan 1 B.sin 1<tan 1<cos 1 C.cos 1<tan 1<sin 1 D.cos 1<sin 1<tan 1 解析　由图可知,cos 1<sin 1<tan 1。 答案　D 　　命题方向2:利用三角函数线求定义域 　　【例3】　求函数f(α)=的定义域。 解　要使函数f(α)有意义,则2sin α-1≥0,即sin α≥。如图画出单位圆,作x轴的平行直线y=,交单位圆于两点P1,P2,作射线OP1,OP2,过点P1,P2分别作x轴的垂线,得到如图的两条正弦线,易知这两条正弦线对应的值都等于。在[0,2π)内,sin=sin=。由于sin α≥,因此满足条件的角α的终边所在区域如图中阴影部分。所以函数f(α)的定义域为α+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z。 　　求此类三角函数定义域的本质是求三角不等式(组)的解集,其方法是首先作出单位圆,然后根据条件利用三角函数线画出角α的终边所在的区域(可用阴影部分表示),最后写出区域角的集合即可 【变式训练】　求函数y=+lg(2cos α-1)的定义域。 解　由题意,