2023—2024学年北师大版数学八年级上册期末复习压轴题特训

期末压轴题全攻略 ⁠ 考向一　运用勾股定理进行推理或计算 典例1　如图①，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC的中点，BE与DF，CD分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE，BD＝CD.求证∶BG2－GE2＝EA2. 思路导引　此题求证的式子中涉及线段的平方，因此考虑运用勾股定理来证明.在等腰三角形BCD中易证DF垂直平分BC，因此连接CG，得BG＝CG.利用全等证EC＝EA，从而所有相关量都集中于Rt△CGE中，由勾股定理即可得证. 规范解答　如图②，连接CG.∵ BD＝CD，F为BC的中点， ∴ 易得DF垂直平分BC.∴ BG＝CG. ∵ BE⊥AC，∴ ∠AEB＝∠CEB＝90°. 在△ABE和△CBE中， ∴ △ABE≌△CBE.∴ EA＝EC. 在Rt△CGE中，由勾股定理，得 CG2－GE2＝EC2.∴ BG2－GE2＝EA2. （典例1图） ⁠ 1. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，且BD∶AD∶CD＝2∶3∶4.已知S△ABC＝40cm2，动点M从点B出发以1cm/s的速度沿线段BA向点A匀速运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C匀速运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点M运动的时间为ts. （1） 若△DMN的边与BC平行，求t的值. （第1题） 解∶（1） 设BD＝2xcm，则AD＝3xcm，CD＝4xcm，AB＝AD＋BD＝5xcm.∵ CD⊥AB，S△ABC＝40cm2，∴ S△ABC＝AB·CD＝×5x×4x＝40，解得x＝2（负值舍去）.∴ BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AB＝10cm.∴ 在Rt△ADC中，AC＝＝10cm.∴ AC＝AB.∴ ∠ACB＝∠B.当MN∥BC时，∠ANM＝∠ACB，∠AMN＝∠B，∴ ∠ANM＝∠AMN.∴ 易得AN＝AM.由题意，得AN＝tcm，BM＝tcm，则AM＝AB－BM＝（10－t）cm. ∴ t＝10－t，解得t＝5.当DN∥BC时，同理，得AD＝AN，即t＝6.综上所述，若△DMN的边与BC平行，t的值为5或6. （第1题） （2） 在点N运动的过程中，△ADN能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由. 解∶（2） △ADN能成为等腰三角形.分三种情况∶① 当AN＝AD＝6cm时，t＝6.② 当DN＝AN时，∠ADN＝∠A.∵ CD⊥AB， ∴ ∠CDN＋∠ADN＝90°，∠DCN＋∠A＝90°.∴ ∠CDN＝∠DCN. ∴ 易得DN＝CN.∴ AN＝CN＝AC＝5cm.∴ t＝5.③ 当ND＝AD＝6cm时，过点D作DG⊥AC于点G，则易得NG＝AG＝AN. ∵ CD⊥AB，∴ ∠ADC＝90°.∴ S△ACD＝AC·DG＝AD·CD.∴ DG＝＝cm.∴ 在Rt△ADG中，AG＝＝cm.∴ AN＝2AG＝cm.∴ t＝.综上所述，△ADN能成为等腰三角形，t的值为5或6或. （第1题） 考向二　一次函数的实际应用 典例2　（2022·杭州期末）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间t（h）之间的函数关系；线段BD表示轿车离甲地的距离y（km）与时间t（h）之间的函数关系.点C在线段BD上，请根据图象解答下列问题∶ （典例2图） （1） 求点B的坐标. （2） 当轿车与货车相遇时，求t的值. （3） 在整个过程中（0≤t≤5），t在什么范围时，轿车与货车之间的距离小于30km？ 思路导引　（1） 先利用待定系数法求出线段BD对应的函数表达式，再求出BD与x轴的交点坐标即可.（2） 先求出线段OA对应的函数表达式，再根据两直线的交点即可解答.（3） 分两种情况，分别求出t的值即可解答. 规范解答　（1） 设轿车离甲地的距离y（km）与时间t（h）之间的函数表达式为y＝at＋b.把C（2，50），D（4.5，300）代入， 得解得∴ 轿车离甲地的距离y（km）与时间t（h）之间的函数表达式为y＝100t－150.当y＝0时，0＝100t－150，解得t＝1.5.∴ 点B的坐标为（1.5，0）. （2） 设货车离甲地的距离y（km）与时间t（h）之间的函数表达式为y＝kt.根据题意，得5k＝300，解得k＝60.∴ 货车离甲地的距离y（km）与时间t（h）之间的函数表达式为y＝60t. 解方程组解得 ∴ 当轿车与货车相遇时，t的值为3.75. （3） 当轿车与货车之间的距离为30km时，由题意，得60t－（100t－150）＝30或（100t－150）－60t＝30，解得t＝3或t＝4.5.∴ 当3＜t＜4.5时，轿车与货车之间的距离小于30km. 方法归纳 解决图象类函数应用题的基本策略 解决此