2024年中考数学（北师大版）二轮复习高频考点突破课件 第二章　相交线与平行线

第二章　相交线与平行线 考点一　相交线的有关计算 典例1　如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE是∠BOD的平分线，OF⊥AB，垂足为O.已知∠AOD＝110°，分别求∠COF，∠COE的度数. （典例1图） 思路导引　先根据垂直的定义可得∠FOB＝90°，再根据对顶角相等可得∠BOC＝∠AOD＝110°，从而可得∠COF＝20°，∠DOB＝70°，然后利用角平分线的定义可得∠DOE＝35°，最后利用平角的定义可得∠COE＝145°. 规范解答　因为OF⊥AB， 所以 ∠FOB＝90°. 因为∠AOD＝110°， 所以∠BOC＝∠AOD＝110°. 所以∠COF＝∠BOC－∠FOB＝20°，∠DOB＝180°－∠BOC＝70°. 因为射线OE是∠BOD的平分线， 所以∠DOE＝∠BOD＝35°. 所以∠COE＝180°－∠DOE＝145°. 1. （2023·兴化期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，垂足为O，OE平分∠BOD. （1） 若∠AOC＝72°，求∠EOF的度数. 解：（1） 因为OF⊥CD，所以∠DOF＝90°.因为∠BOD＝∠AOC＝72°，OE平分∠BOD，所以∠DOE＝∠BOD＝36°.所以∠EOF＝∠DOF－∠DOE＝90°－36°＝54°. （第1题） （2） 若∠DOE比∠BOF大24°，求∠AOF的度数. 解：（2） 设∠BOF＝x°，则∠DOE＝（x＋24）°.因为OE平分∠BOD，所以∠BOD＝2∠DOE＝2（x＋24）°.因为∠BOD＋∠BOF＝∠DOF＝90°，所以2（x＋24）＋x＝90，解得x＝14.所以∠BOF＝14°.所以∠AOF＝180°－∠BOF＝166°. （第1题） 考点二　平行线的判定与性质 典例2　（2023·淄博期末）如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，连接AD，∠CDG＝∠B，∠1＋∠FEA＝180°.试说明： （典例2图） （1） EH∥AD. （2） ∠BAD＝∠H. 思路导引　（1） 先由∠CDG＝∠B，可得DG∥AB，得出∠1＝∠BAD，则∠BAD＋∠FEA＝180°，再根据平行线的判定即可得出结论.（2） 先利用平行线的性质得到∠1＝∠H，再通过等量代换即可得出结论. 规范解答　（1） 因为∠CDG＝∠B， 所以DG∥AB. 所以∠1＝∠BAD. 因为∠1＋∠FEA＝180°， 所以∠BAD＋∠FEA＝180°. 所以EH∥AD. （2） 因为EH∥AD， 所以∠1＝∠H. 因为∠1＝∠BAD， 所以∠BAD＝∠H. 2. （2022·吕梁交口期末）在综合实践课上，老师让学生们以“三条平行线m，n，l（始终满足m∥n∥l）和一副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°）”为材料开展数学活动. （1） 如图①，“展翅”组把三角尺ABC的边BC放在l上，三角尺DEF的顶点F与顶点B重合，边EF经过AB，顶点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上，边ED与n相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数. 解：（1） 设三角尺DEF的边EF交n于点N.因为直线n∥直线l，所以∠DBC＝∠BDN.又因为∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝45°－30°＝15°，所以∠BDN＝15°. 所以∠1＝∠BDE－∠BDN＝90°－15°＝75°. 操作发现： （2） 如图②，受到“展翅”组的启发，“高远”组把直线m向下平移后使得两把三角尺的两个直角顶点A，D分别落在l和m上，顶点C恰好落在n上，边AC与l相交所成的一个角记为∠2，边DF与m相交所成的一个角记为∠3，试说明：∠2－∠3＝15°. 解：（2） 如图②，过点B作BG∥直线m，交DE于点G，设三角尺ABC的边AB交n于点N.因为BG∥m，l∥m，所以BG∥l.因为BG∥m，所以∠3＝∠DBG.又因为BG∥l，所以∠4＝∠ABG.所以∠3＋∠4＝∠DBG＋∠ABG＝∠DBA＝30°＋45°＝75°.又因为∠4＝180°－90°－∠2＝90°－∠2，所以∠3＋90°－∠2＝75°.所以∠2－∠3＝15°. （第2题） （3） 老师在点评“高远”组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若Q是直线n上一点，当CQ恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系.请你写出它们之间的倍数关系，并说明理由. 解：（3） ∠2＝3∠3.理由：由（2），知∠2－∠3＝15°，因为CQ平分∠ACB，所以∠BCQ＝∠ACQ＝22.5°.因为直线n∥直线l，所以∠2＝∠ACQ＝22.5°.所以∠3＝7.5°.所以∠2＝3∠3. 结论应用： $$