8.4 三元一次方程组的解法 讲义2023-2024学年 人教版数学七年级下册

►第八章 二元一次方程组 8.4 三元一次方程组的解法 ■重点01 三元一次方程组的概念 【例题】下列不是三元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三元一次方程组的定义，共含有三个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行判断即可． 【解答】解：．方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； ．方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是2，不是三元一次方程组，符合题意． ．方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； ．方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； 故选：． 解法揭秘 1．三元一次方程组必须具备的三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数； （2）含未知数的项的次数都是1； （3）方程组中的每个方程都是整式方程． 2．三元一次方程组的解：三元一次方程组的三个方程的公共解． 闯关演练 【闯关1】　下列方程组中，是三元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【闯关2】　下列方程组是三元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【闯关3】　下列方程组，是三元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【闯关4】　下列方程组中，不是三元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【闯关5】　（2023春•遵化市期中）下列是三元一次方程组的是　　 A． B． C． D． ■重点02 三元一次方程组的解法 【例题】（2023春•嘉定区期末）解三元一次方程组：． 【答案】． 【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答． 【解答】解：， ③①得： ④， ②④得： ， 把代入②中， ， 解得：， 把，代入①中， ， 解得：， 原方程组的解为：． 解法揭秘 （1）要根据方程组的特点决定先消去哪个未知数． （2）原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次． （3）将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左、右两边的值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左、右两边的值不相等，就不是原方程组的解． （4）方程组中各方程的系数有特点、有规律时，可以通过某种变形，得到另一个简单的方程，使下一步变形更简便． （5）若出现两个方程三个未知数，则将某一个未知数看作字母参数，进而将方程化为二元一次方程组进行求解． 闯关演练 【闯关6】　（2023春•松江区期末）解方程组：． 【闯关7】　（2023春•杨浦区期末）解方程组：． 【闯关8】　（2023春•宽城区期末）解方程组：． 【闯关9】　（2022春•上蔡县校级期中）解方程组：． 【闯关10】　（2023春•长宁区期末）解方程组：． ■难点01 三元一次方程组的应用 【例题】（2022•天河区开学）甲、乙，丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已知甲比丙多付了680元，请问： （1）甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？ （2）这台电视机的售价是多少元？ 【答案】（1）． （2）1870元． 【分析】（1）设甲付了元，乙付了元，丙付了元，根据“甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍，且甲比丙多付了680元”，可列出关于，，的三元一次方程组，解之可得出，，的值，相比后即可得出结论； （2）将三人所付钱数相加，即可求出结论． 【解答】解：（1）设甲付了元，乙付了元，丙付了元， 根据题意得：， 解得：， ． 答：甲、乙、丙三人所付的钱数之比是； （2）根据题意得：（元． 答：这台电视机的售价是1870元． 解法揭秘 找到问题中的三个未知数，再找出与未知数有关的三个或两个等量关系，根据等量关系列出三个或两个方程，组成方程组，再解方程组．若方程的个数少于未知数的个数，求解时可以利用其他条件及问题的实际意义对字母的取值进行讨论，或者采用“整体求值”的方法进行求解． 闯关演练 【闯关11】　（2023秋•道里区校级月考）果园里共种有苹果、梨、桃三种果树100棵，苹果树棵数、梨树棵数、桃树棵数的比为．丰收后苹果的总产量和梨的总产量的比是，已知平均每棵桃树的产量是150斤，比平均每棵苹果树的产量少． （1）求果园里苹果树与梨树各有多少棵； （2）求丰收后果园里苹果总产量和梨的总产量分别是多少斤； （3）果园要将丰收后的三种水果全部售出，苹果定价每斤6元，梨定价每斤3元，桃定价每斤5元，预计在出售过程中，平均每种水果会有腐烂掉，果园出售完这三种水果的总售价是多少元？ 【闯关12】　（2023秋•济南期中）某工厂有甲、乙、丙三个车间，已知甲车间人数比