7.4.1二项分布学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4 二项分布与超几何分布 7.4.1 二项分布 一、学习目标 课程标准 学科素养 1．理解n重伯努利试验的模型及二项分布，并能解答简单的实际问题；(重点) 2．能进行与n重伯努利试验的模型及二项分布有关的概率的计算．(重点、难点) 1．数学抽象； 2．数学建模； 3．数学运算 二、阅读教材(72～76页) 在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials). 我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验。显然，重伯努利试验具有如下共同特征：(1) 同一个伯努利试验重复做n次；(概率相同) (2) 各次试验的结果相互独立. 三、合作探究、深度学习 学习目标一：二项分布的概念 思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验? 如果是,那么其中的伯努利试验是什么? 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大? 重复试验的次数是多少？ 1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次. 2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. 3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. 探究1：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同? 探究2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 思考：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列. 归纳1：二项分布的概念： (1)定义: 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)， 用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 ,n. X 0 1 … k … n p … … 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作X~B(n,p). 思考1：二项分布与两点分布有何关系? 思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？ 学习目标二：典例解析 例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： (1) 恰好出现5次正面朝上的概率； (2) 正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率. 例2 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。 例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 归纳2：确定一个二项分布模型的步骤： (1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； (2)确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； (3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n，p). 名师点津: 二项分布中需要注意的问题和关注点 (1)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p. (2)解决二项分布问题的两个关注点 ①对于公式P(X＝k）＝(k＝0，1，2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式． ②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． 探究3：假设随机变量X服从二项分布，那么X的均值和方差是什么？ 归纳3：二项分布的均值和方差： 一般地，如果,那么; . 学习目标三：自我评价 1. 判断 (正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 在n重伯努利试验中，各次试验的结果之间相互没有影响. ( ) (2) 在n重伯努利试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同. ( ) (3) 如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率. ( ) 2. 每次试验的成功率为p(0<p<1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为( ) A． B． C． D． 3．若，则 ， . 4. 从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为 . 5. 在一次体育课定点投篮测试中，每人最多可投篮5次，若投中两次则通过测试，并停止投篮