圆锥曲线中的定点、定值问题的结论及多种证明方法讲义-2024届高三数学二轮专题复习

圆锥曲线中的定点、定值问题的结论及多种证明方法 山东东营 徐新华 大家都知道，圆锥曲线的很多重要结论，特别是圆锥曲线的定点、定值问题并没有列入高中数学教材，但它们一直确是高考数学试题中考察的重要内容。本文件中，从多个角度、采用多种方法对圆锥曲线的定点、定值问题的结论作出了证明，并力求对证明过程给予最大化的展示。需要说明的是，个别证法有相当大的难度，其证明过程也极为复杂，因此叙述也就比较详细具体。 一、椭圆、双曲线、圆中的定点、定值问题的统一结论及其证法 已知点P(x0,y0)（其中y0≠0）是圆锥曲线C: Ax2+By2=1上的一个定点，过点作直线PA、PB分别与圆锥曲线C相交于点A、B.则必定存在以下结论： （1）当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=. （2）当k1+k2=t (t≠0)时，直线AB恒过定点（ x0 ). （3）当k1k2=λ=时，kAB为定值,kAB=. （4）当k1k2=λ (λ≠)时，即直线AB恒过定点 （ ）. 利用平移证明： 现平移圆锥曲线C，使得点P与原点O重合得到圆锥曲线， 点A、B的对应点分别为、.设（x1,y1）、（x2,y2）， 则圆锥曲线的方程为A（x+x0）2+B（y+y0）2=1, 即 Ax2+By2+2Ax0x+2By0y+Ax02+By02=1。 ∵Ax02+By02=1，∴Ax2+By2+2Ax0x+2By0y=0。 设直线的方程为：mx+ny=1， 则Ax2+By2+（2Ax0x+2By0y）（mx+ny）=0， 即（A+2Ax0m）x2+(B+2By0n)y2+（2Ax0n+2By0m）xy=0， ∴(B+2By0n)()2+（2Ax0n+2By0m）+（A+2Ax0m）=0。 由kAP=k1==，kBP=k2==得：k1+k2=，k1k2= (1)当k1+k2=0时，得2Ax0n+2By0m=0，kAB===,即kAB为定值。 (2)当k1+k2=t (t≠0)时，得2Ax0n+2By0m=-t(B+2By0n)，解得m=-， ∴直线的方程：mx+ny=1化为：-x+ny=1， 整理得。 由得 ∴直线恒过定点（ )， 即直线AB恒过定点（ x0 )。 (3)当k1k2=λ=时，=得x0m=y0n，kAB===即kAB为定值。 (4) 当k1k2=λ (λ≠)时，=λ得(B+2By0n)λ=A+2Ax0m解得: m=; ∴直线的方程：mx+ny=1化为：x+ny=1, 整理得. 由得 ∴直线恒过定点（ ), 即直线AB恒过定点（ x0 + ), 即（ ）. 推论1.若圆锥曲线C: Ax2+By2=1为椭圆时, （1）当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=. （2）当k1+k2=t (t≠0)时，直线AB恒过定点（ x0 ). （3）当k1k2=λ=时，kAB为定值,kAB=. （4）当k1k2=λ (λ≠)时，即直线AB恒过定点（ ）. 推论2.若圆锥曲线C: Ax2+By2=1为双曲线时, （1）当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=, （2）当k1+k2=t (t≠0)时，直线AB恒过定点（ x0 ). （3）当k1k2=λ=时，kAB为定值,kAB=. （4）当k1k2=λ (λ≠-)时，即直线AB恒过定点（ ）. 推论3.若圆锥曲线C: Ax2+By2=1为圆时, （1）当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=. （2）当k1+k2=t (t≠0)时，直线AB恒过定点（ x0 ). （3）当k1k2=λ=时，kAB为定值,kAB=. （4）当k1k2=λ (λ≠)时，即直线AB恒过定点（ ）. 二、椭圆、双曲线、抛物线、圆中的定点、定值问题的统一结论 及其证法 已知点P(x0,y0)（其中y0≠0）是圆锥曲线C: Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上的一个定点，过点作直线PA、PB分别与圆锥曲线C相交于点A、B.则必定存在以下结论： （1）当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB= （2）当k1+k2=t (t≠0)时，直线AB恒过定点（ x0 ) （3）当k1k2=时，kAB为定值,kAB= （4）当k1k2=λ (λ≠)时，即直线AB恒过定点（ ）. 利用平移证明： 现平移圆锥曲线C，使得点P与原点O重合得到圆锥曲线， 点A、B的对应点分别为、.设（x1,y1）、（x2,y2）， 则圆锥曲线的方程为A（x+x0）2+B（y+y0）2+D（x+x0）x+E（y+y0）+F=0即： Ax2+By2+2Ax0x+2By0y+Ax02+By02+Dx+Ey+Dx0+Ey0+F=0， ∵Ax02+By02+Dx0+Ey0+F=